فاعلية وحدة مقترحة في هندسة التاکسي لتنمية حل المشکلات والانخراط في التعلم لدى طلاب المرحلة الإعدادية

فاعلیة وحدة مقترحة فی هندسة التاکسی لتنمیة حل المشکلات والانخراط فی التعلم لدى طلاب المرحلة الإعدادیة

غادة شومان الشحات ابراهیم شومان

مدرس المناهج وطرق تدریس الریاضیات

کلیة البنات - جامعة عین شمس

الملخص:

 یهدف هذا البحث الی التعرف على فاعلیة وحدة مقترحة فی هندسة التاکسی لتنمیة حل المشکلات والانخراط فی التعلم لدى طلاب المرحلة الإعدادیة ، بلغت مجموعة البحث ( 40 ) طالبة من طالبات الصف الثالث الإعدادی ، وتوصلت نتائج البحث الی وجود فرق دال إحصائیا بین متوسط درجات مجموعة البحث لکل اختبار حل المشکلات ، ومقیاس الانخراط فی تعلم الریاضیات بین التطبیقین القبلی والبعدی لصالح التطبیق البعدی ، وأن الوحدة المقترحة فى هندسة التاکسی تتصف بدرجة مناسبة من الفاعلیة فی تنمیة  کل من حل المشکلات والانخراط فی التعلم لدى مجموعة البحث .

الکلمات المفتاحیة : هندسة التاکسی - حل المشکلات - الانخراط فی التعلم

 The Effectiveness Of Suggested Unit In Taxicab Geometry In Developing Problem Solving And Learning Engagement For The Students Of Preparatory Stage

Abstract :

This research aims to know the effectiveness of suggested unit in taxicab geometry in developing problem solving and learning engagement for the students of preparatory stage. The research group is 40 students. The data analysis reveals that there is statistically significant difference between the mean score of the research group in the pre and post application Problem Solving test and math Engagement scale . The suggested unit in taxicab geometry has the effectiveness of developing problem solving and learning engagement

keywords : Taxicab Geometry - Problem Solving  - Learning Engagement

فاعلیة وحدة مقترحة فی هندسة التاکسی لتنمیة حل المشکلات والانخراط فی التعلم لدى طلاب المرحلة الإعدادیة

غادة شومان الشحات ابراهیم شومان

مدرس المناهج وطرق تدریس الریاضیات

کلیة البنات - جامعة عین شمس

المقدمة :-

یعتبر العصر الحالى هو عصر التطور العلمى والتکنولوجى والإنفجار المعرفى حیث تتسع دائرة العلم والثقافة وتتضاعف کل یوم ، الأمر الذی أدى الى أن أصبحت دول العالم تعیش فى سباق مع الزمن ، وتسعى جمیعها الى اللحاق برکب العالم المتقدم والأخذ بأسالیب التقدم العلمی والتکنولوجی والمعرفی فی شتى المجالات ؛ ولذلک أصبحنا مطالبین بإعداد اجیال على قدر مناسب من الثقافة والعلم مما یجعلهم قادرین على التفکیر فیما یواجهون من مشکلات وتحدیات وإکسابهم القدرة علی حلها .

ویعتبر حل المشکلات هو أعلى مستوى من مستویات تعلیم الریاضیات وهو الهدف الأساسی لتعلمها حیث تساعد الطالب أن یفکر تفکیرًا علمیًاً حتى یصل بنفسه إلى کثیر من الحقائق والعلاقات الریاضیة، وأنها تمکنه من أن یکتشف بنفسه الطریق إلى حل المشکلات الریاضیة . (نعیمة سالم محمود وأخرون ، 2013 ، 191 )

وینظر للمشکلة الریاضیة على أنها موقف جدید وممیز یواجه الطالب ولیس لدیه حل جاهز ، حیث یحاول الطالب مواجهة هذا الموقف ، فیقوم بعملیات ذهنیة تمکنه من الوصول للحل وبذلک یکون لدى الطالب هدف واضح ومحدد یسعى لتحقیقه ، فیتقبل المشکلة ویتفاعل معها ویجد حلاً مناسباً لها .  (حسن العرسان ، 2003 ، 4 (

وتعتبر المشکلة الریاضیة وسـیلة لـتعلم مهـارات ومعـارف ریاضـیة ، کمـا تعـزز فهـم العلاقـات الریاضـیة (NCTM, 2003 ,182 ) ، والاهتمام بتدریب الطلاب على حل المشکلات الریاضیة یحفزهم على التعلم ، وإثارة الدافعیة ، ویجعل من الجو الصفی بیئة مناسبة للتفکیر ، والتأمل ، والاستقصاء ،وتحسین القدرات التحلیلیة للطلاب ، واستخدام هذه القدرات فی مواقف مختلفة . (فرید کامل أبو زینة ، 2010 ، 312 )

وعلی المعلم عند عرضه لمشکلة على الطلاب أن یترک لهم الفرصة لیفکروا ویتأملوا المشکلة المعروضة ، مع تشجیعهم على عرض مقترحاتهم وآرائهمالتی توصلوا الیها سواء من خلال عملهم الفردی أو الجماعی مما یشعرهم بالرضا والسعادة ، وتوفیر البیئة المناسبة التی تساعدهم علی المناقشة الصفیة والاندماج فی حل المشکلات المقدمة لهم . (نعیمة سالم محمود وأخرون ، 2013 ، 198-200)

ویعبر اندماج الطلاب أو انخراطهم فی التعلم عن الرغبة فی المشارکة فی أنشطة التعلم مما یوضح المشارکة السلوکیة للطلاب عندما تتاح لهم الفرصة ، مع بذل الجهود المکثفة والترکیز على تنفیذ مهام التعلم، کما تظهر المشاعر الإیجابیة بشکل عام من خلال العمل المتواصل ویتضمن ذلک الحماس والتفاؤل والفضول والالتزام . ( Jolien ,U , 2014, 49)

وبذلک فإن الانخراط فی التعلم یعد من جوانب التعلم المهمة التی تؤثر فی تشکیل وجدان الطالب، والتی قد لا تؤثر فقط فی مستوى تحصیله ، ولکنها قد تتعدى ذلک لتؤثر فی سلوکیاته وتوجهاته العلمیة.

حیث یعرف الانخراط  فی التعلم بأنه مقدار الجهد المبذول من قٍبل الطلاب فی المشارکة  فی الأنشطة المدرسیة وتکوین اتجاهات ومیول ایجابیة نحو التعلم والاندماج فیه، وذلک من خلال إبداء الرأی والمشارکة والمثابرة، وإظهار قدر کبیر من الاهتمام بعملیة التعلم . (سربناس وهدان، 2018 ، 5 )

وهناک ثلاثة جوانب للانخراط فی التعلم وهی: الجانب السلوکی، والوجدانی، والمعرفی. فالانخراط السلوکی یتمثل فی مشارکة الطلاب فی أنشطة أکادیمیة واجتماعیة وإثرائیة ، بینما الانخراط العاطفی یتمثل فی امتلاک الطلاب اتجاهات إیجابیة وتفاعلات نحو المدرسة والمعلمین والتعلم والأصدقاء ، فی حین أن الانخراط المعرفی یرکز علی أسالیب تعلم الطلاب بطریقة فاعلة ومنظمة. Torres , A& Martin  , J), 2016 , 5 )  

ومن خلال انخراط الطلاب یمکن التنبؤ بتحصیلهم الدراسی وتنمیة المیول والاهتمامات والاتجاهات الإیجابیة نحو الدراسة، ومهارات التفکیر. ( عاصم محمد إبراهیم  ، 2014 ، 53 ) ولتحقیق الانخراط فی التعلم لابد من توفیر بیئة تعلیمیة تجعل الطلاب یتشارکون فی ممارسة الأنشطة التعلیمیة مما یساعد على التعلم النشط الفعال ، ویشجع الطلاب على الانغماس فی التعلم ، ویساعد على تحقیق الأهداف التعتیمیة المرجوة ، ویأخذ الطلاب إلى مستویات فهم أعمق تمکنهم من تطبیق ما تعلموه فی حیاتهم الیومیة . ( شیماء سمیر خلیل ،  2018، 326 )

فاستخدام الأنشطة التعلیمیة غیر التقلیدیة توفر الفرص المناسبة لانخراط الطلاب فی التعلم وتزویدهم بالمعرفة الریاضیة الحدیثة ؛ مما یساعدهم علی مواجهة المشکلات الحیاتیة وفهم التطورات الحادثة من حولهم والتطورات الکثیرة فى فروع الریاضیات.

وتعتبر الهندسة من فروع الریاضیات التى شهدت الکثیر من التطورات مع مرور الزمن فقد ظهرت العدید من الهندسات الحدیثة فی القرنین الثامن عشر والتاسع عشر والتی تختلف عن الهندسة الاقلیدیة فی بعض المسلمات والتی سمیت بالهندسات اللااقلیدیة ، ومن هذه الهندسات هندسة التاکسی taxicab geometry التی قدمها مینکوسکى Minkowski فی القرن التاسع عشر .

وسمیت هندسة التاکسی geometry taxicab بهذا الاسم لأنها تتخیل المسار الذی یسلکه سائق التاکسی الذی یقطع شوارع مدینة سکنیة مصممة بشکل مثالی شوارعها هی خطوط أفقیة وخطوط رأسیة وبالتالی یکون سائق التاکسی قادراً على التحرک أفقیاً ورأساً فقط بین المواقع - کما هو موضح فی شکل ( 1 ) حیث تمثل المربعات البیضاء المبانی والمنشآت السکنیة بینما تمثل الشوارع بالخطوط الرمادیة ؛ وبالتالی تحسب المسافات فیها من خلال مجموع المسافة الأفقیة والرأسیة التی قطعها سائق التاکسی .  Dreiling K, M , 2012,474- 475 )  )

ولذلک تستخدم هندسة التاکسی على نطاق واسع فی الجغرافیا الحضریة حیث تعتبر النموذج الأفضل لتمثیل العالم الحضری الاصطناعی الذی بناه الإنسان، علی عکس الهندسة الإقلیدیة التی تکون نموذجا جیدا للعالم الطبیعی حیث لا توجد المبانی والمنشآت ولذلک أطلق علی هندسة اقلیدس هندسة الطیور حیث تحسب المسافة بین نقطتین بنفس الطریقة التی یطیر بها الطائر وهی اقصر مسافة بین نقطتین .

                                           ( Ada,T  , 2013 , 1421-1422)

وعلى الرغم من أن جمیع الشوارع لا تسیر بشکل متوازٍ أو متعامد مع بعضها البعض ، إلا أن تصور هندسة التاکسی لهذا النوع من النظام الشبکی یُظهر تحسینات کبیرة على نظیره الإقلیدی. Coons , E et al , 2015,1 – 2  )  )

ولهندسة التاکسی تطبیقات حیاتیة کثیرة منها:

                                          (سالم بن سعید الهدیفی،2011،19–20)

1. إذا وقع حادث فی مکان ما، وکانت هناک مجموعة من مراکز للدفاع المدنی، والمطلوب أن تصل سیارة الإسعاف فی أقل وقت ممکن، أی تقطع أقل مسافة ممکنة، وطبعاً المسافة محسوبة وفق الشوارع - ولیست المسافة المباشرة -  لذا فالهندسة التی تلبی المطلوب هنا هی هندسة التاکسی .
2. إذا کان فی بلدة ثلاثة مراکز صحیة، وأرید أن تقسم البلدة إلى ثلاثة أقسام لیعالج أبناء کل منطقة فی أحد المراکز الصحیة فإن التقسیم یتم وفقاً لقرب أو بعد المرکز عن بیوت سکان البلدة، والبعد والقرب هنا یقاس بالمسافات على الشوارع ولیس بالبعد المباشر.
3. إذا أرادت شرکة الاتصالات أن تضع عددًا من الهواتف العامة تخدم البلدة، فإنها تقوم بتقسیم البلدة إلى مناطق لیوضع الهاتف فی موقع لا یبعد عن أی بیت فی المنطقة أکثر من البعد الذی تحدده الشرکة.

ویذکر علاء أبو الرایات ( 2016 ، 91) أن دراسة هندسة التاکسی تجعل الطالب أکثر دافعیة للتعلم خاصة إن تم ربطها بالحیاة العملیة والبیئیة ، کما أنها تزید من قدرة الطالب علی حل المشکلات .

ویشیر Berger , R. I  ( 2015 , 214)  الى أن تدریس هندسة التاکسی للطلاب یساعدهم علی الانخراط فی التعلم وذلک من خلال تقدیم العدید من الأنشطة التی تتطلب رسم النقاط وتکوین الأشکال فی هندسة التاکسی ، ومقارنة خصائص هذه الأشکال مع هندسة اقلیدس  ومناقشة ودراسة الأسباب الکامنة وراء اختلاف الأشکال الهندسیة بین الهندستین مما یجعل الطلاب یفکرون ویتناقشون حول التعریفات والحقائق التی اکتشفوها من خلال المهمات والأنشطة المعطاة لهم مما یزید من تعمیق فهم الطلاب لمعانی المفاهیم الهندسیة المختلفة ، وانخراطهم فی تعلم الریاضیات  .

وتعتبر هندسة التاکسی أکثر قربا لحیاة الطالب من الهندسة الإقلیدیة التی تدرس فی المدارس ، وتقدم الحلول لمشکلات حیاتیة للطلاب (Fout,N et al , 2012 , 3 ) ؛ مما یجعل الریاضیات قریبة ومألوفة للطالب یستشعر أهمیتها ویقدر فائدتها مما یزید دراستها متعة .

وبذلک قد یساعد تقدیم وحدة مقترحة فی هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الإعدادیة علی تدریب الطلاب علی نوع جدید من المشکلات الریاضیة الحیاتیة والتی تساعدهم فی الانخراط فی تعلم الریاضیات بشکل عام والهندسة بشکل خاص .

الإحساس بالمشکلة : نبع الإحساس بمشکلة البحث من خلال ما یلی:-

v     لاحظت الباحثة من خلال حضور بعض حصص الهندسة للمرحلة الإعدادیة أثناء إشرافها علی طالبات التربیة العملیة للفرقة الثالثة : عدم بذل معظم الطالبات للوقت والمجهود المطلوب للقیام بالأنشطة التی تقدم لهن ، وعدم الاهتمام بإبداء الرأی أو المشارکة فی حل المشکلات الهندسیة التی تقدمها المعلمة ، کما أظهرن اتجاهات سلبیة نحو تعلم الریاضیات بشکل عام والهندسة بشکل خاص . وللتعرف علی الأسباب آجرت الباحثة مقابلة مع مجموعة من طالبات المرحلة الإعدادیة (30 طالبة من طالبات الصفوف الأولی والثانیة والثالثة) ، حیث أجمعت ( 90 % ) من الطالبات أنهن یشعرن بالملل حلال حصص الهندسة لأنه لا توجد موضوعات هندسیة جدیدة شیقة تقدم لهن ، وأنهن لا یجدن أهمیة تطبیقیة فی الحیاة الیومیة لما یدرس لهن .

v     وهذا یتفق مع ما ذکرته معصومة کاظم بأن دراسة الهندسة الاقلیدیة فقط یسبب الملل الذی نشاهده على الطلاب المرحلة الإعدادیة والثانویة عند محاولة البرهنة بطرق شکلیة علی الکثیر من النظریات البعیدة عن اهتمامهم والعاجزة عن جذب انتباههم أو تحدى قدراتهم وحب استطلاعهم ، وهذا علی عکس الهندسات اللااقلیدیة التی لها العدید من التطبیقات الملموسة وتقدم الحلول للعدید من المشکلات المعاصرة مما یجعلها قریبة ومألوفة للطالب .(علاء أبو الرایات ، 2016 ، 91)

v     ودعت الاتجاهات الحدیثة فی مجال تطویر مناهج الریاضیات وتربویاتها الی الاهتمام بتقدیم مفاهیم ونظریات الهندسات اللااقلیدیة – مثل هندسة التاکسی -  لطلاب التعلیم قبل الجامعی مع إبراز أهمیتها وتطبیقاتها المتنوعة فی فروع العلوم المختلفة. (محبات أبو عمیرة،2000 ، 247 - 264) (Heredia , D, 2008) .

v  ویساعد تدریس هندسة التاکسی لطلاب التعلیم قبل الجامعی علی تزویدهم بالمعرفة الریاضیة التی تمکنهم من تحدید المسافات والمواقع فی المدن الحدیثة وفق شروط محددة یستخدمها الطلاب بشکل یومی مثل : القرب من المدرسة ، أو البعد عن النادی الریاضی فیما لا یزید عن مسافة محددة ، أو فی منتصف المسافة بین المدرسة والمنزل، أو تحدید موقع على أبعاد متساویة من منازل الأصدقاء ... وهکذا.  Berger , R. I., 2015, 214-219))

v  وبذلک تکمن أهمیة تدریس هندسة التاکسی لطلاب التعلیم قبل الجامعی فی أن :
(Dreiling, K. M,2012,474-478) Ada , T &Kurtuluş,A,2009,1-3) (

* تدریسها یساعد علی توضیح دور الریاضیات فی الحیاة الیومیة للطلاب .

* دراستها تؤدی الی تعمیق فهم الطلاب لمعانی المفاهیم الهندسیة المختلفة.

* تطبیقاتها الحیاتیة متنوعة ویمکن للطلاب إدراکها بسهولة .

* تعد أقرب الهندسات اللااقلیدیة للهندسة التی یدرسها الطلاب فی المدارس .

v     وأشارت العدید من الدراسات التربویة الیإمکانیة تدریس مفاهیم هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الإعدادیة والثانویة مثل دراسة : ( نیرمین حمدى حسن ، 2009) Neto, T et al  , 2009)   ) 2013)  , Ada,T)2012)  Fout,N et al,) Ada , T et al , 2014 ) (

v     کما أن توفیر الأنشطة الریاضیة غیر التقلیدیة یعمل علی توفیر الفرص المناسبة لانخراط الطلاب فی التعلم ؛ وتطبیق ما تعلمه الطلاب فی مشکلات حیاتیة .     (Liu, R . D et al , 2018) (Deveci, O &Aldan K. C , 2019 )

v     فاستخدام الأنشطة عند تدریس هندسة التاکسی والتی تتنوع بین رسم النقاط ، وتکوین الأشکال، ومقارنة خصائص هذه الأشکال مع هندسة اقلیدس، ومناقشة ودراسة الأسباب الکامنة وراء اختلاف الأشکال الهندسیة بین الهندستین ؛ یجعل الطلاب یفکرون ویتناقشون حول التعریفات والحقائق التی اکتشفوها من خلال المهمات والأنشطة المعطاة لهم مما یزید من انخراطهم فی تعلم الریاضیات . (Berger , R. I, 2015 , 214)  2013)  , Ada,T)

v     وترى الباحثة أن تدریس مفاهیم هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الإعدادیة یساعد علی تحقیق العدید من معاییر تدریس الریاضیات والتی وردت فی وثیقة المستویاتالمعیاریةلمحتوىمادةالریاضیات للتعلیمقبلالجامعی (الهیئة القومیة لضمان الجودة والاعتماد،2009 ، 305 – 306) مثل : *امتلاک مهارات حل المشکلات والنمذجة الریاضیة المناسبة لحل مشکلات علمیة وحیاتیة ، *استخدام الأدوات المرئیة مثل الشبکات لتمثیل المشکلات وحلها ، * اکتشاف علاقات ونظریات ریاضیة بالملاحظة والاستقراء ، * التعرف على الأفکار والعلاقات الهندسیة وتطبیقها خارج الفصل الدراسی للریاضیات فی الحیاة الیومیة.

v     ومن خلال تحلیل کتب الریاضیات فی التعلیم قبل الجامعی : وجد أن مقررات الهندسة اقتصرت علی هندسة اقلیدس فقط ، وعدم تقدیم مفاهیم أو نظریات أی من الهندسات اللااقلیدیة مثل مفاهیم وتعمیمات هندسة التاکسی فی أی مرحلة من مراحل التعلیم قبل الجامعی بالرغم من ارتباطها الوثیق بحیاة الطلاب الیومیة.

ومن هنا برزت الحاجة الی تقدیم مفاهیم وتعمیمات هندسة التاکسی کأحد أنواع الهندسات اللااقلیدیة من خلال وحدة مقترحة قائمة علی نشاط الطلاب ؛ مما قد یساعد علی تدریب الطلاب علی نوع جدید من المشکلات الریاضیة الحیاتیة التی یواجهوها والتی تتطلب تحدید المواقع، واختیار الأماکن وفق شروط محددة ، وتشجیعهم علی الانخراط فی تعلم الریاضیات.

مشکلة البحث وأسئلته :-

من خلال الإحساس بالمشکلة تبین :

عدم تضمین أی نوع من أنواع الهندسات اللااقلیدیة الحدیثة مثل هندسة التاکسی فی مقرر الهندسة بالرغم من وجود العدید من التطبیقات الحیاتیة الیومیة لها والتی یمکن من خلال تدریسها تنمیة مهارات حل المشکلات وانخراط طلاب المرحلة الإعدادیة فی التعلم .

لذا یمکن تحدید مشکلة البحث فی السؤال الرئیسی التالی :-

ما فاعلیة وحدة مقترحة فی هندسة التاکسی لتنمیة حل المشکلات والانخراط فی التعلم لدى طلاب المرحلة الإعدادیة ؟

ویتفرع منه الأسئلة الفرعیة التالیة :-

1-     ما المفاهیم والتعمیمات الخاصة بهندسة التاکسی والتی یمکن تقدیمها لطلاب المرحلة الإعدادیة ؟

2-     ما صورة الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الإعدادیة ؟

3-     ما فاعلیة الوحدة المقترحة علی کل من :

• حل المشکلات
•  الانخراط فی التعلم لطلاب المرحلة الإعدادیة ؟

منهج البحث :-  

اتبع البحث الحالی المنهج التجریبی ذی المجموعة الواحدة وذلک للتعرف على فاعلیة وحدة مقترحة فی هندسة التاکسی لتقدیم مفاهیمها وتعمیماتها لطلاب المرحلة الإعدادیة وتنمیة مهارات حل المشکلات والانخراط فی التعلم لدیهم .

فروض البحث : فى ضوء الأدبیات التربویة والبحوث والدراسات السابقة حاول البحث الحالى التحقق من صحة الفروض التالیة :

1- یوجد فرق ذو دلالة إحصائیة بین متوسطی درجات مجموعة البحث فی التطبیق (القبلى- البعدی) فی اختبار حل المشکلات لصالح التطبیق البعدی .

2- یوجد فرق ذو دلالة إحصائیة بین متوسطی درجات مجموعة البحث فی التطبیق (القبلی – البعدی) لمقیاس الانخراط فی تعلم الریاضیات لصالح التطبیق البعدی.

3- تتصف الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی بدرجة مناسبة من الفاعلیة فی تنمیة مهارات حل المشکلات لدى مجموعة البحث.

4- تتصف الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی بدرجة مناسبة من الفاعلیة فی تنمیة الانخراط فی تعلم الریاضیات لدى مجموعة البحث.

حدود البحث : اقتصر البحث الحالی علی :

1. طلاب الصف الثالث الإعدادی ؛ وذلک لأنه أصبح لدیهم خلفیة ریاضیة کافیة لتقدیم مبادئ هندسة التاکسی لهم .
2. التطبیق فی الفصل الدراسی الأول ؛ وذلک لطول مدة الفصل الدراسی مقارنة بعدد الموضوعات الریاضیة المقررة .

أدوات البحث :- اعتمد البحث الحالی على الأدوات التالیة والتی قامت الباحثة بإعدادها :-

أولا  :أدوات التجریب :-

1-     استبیان للمتخصصین فى الریاضیات للتعرف على أهم المفاهیم والتعمیمات الخاصة بهندسة التاکسی والتی یمکن تقدیمها لطلاب المرحلة الإعدادیة .

2-     الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الإعدادیة .

3-     دلیل المعلم لتدریس الوحدة المقترحة .

ثانیا :أدوات القیاس :-

1- اختبار حل المشکلات .

2-  مقیاس الانخراط فی تعلم الریاضیات .

أهمیة البحث :-  قد یفید البحث الحالی:

1. طلاب المرحلة الإعدادیة من خلال إثراء الثقافة والمعرفة الریاضیة المقدمة لهم  عن طریق تقدیم وحدة مقترحة فی هندسة التاکسی ، والتی یساعد دراستها الی تعمیق فهم الطلاب للمفاهیم الهندسیة المختلفة، وتدریبهم علی نوع جدید من المشکلات الریاضیة الحیاتیة التی یواجهوها والتی تتطلب تحدید المواقع، واختیار الأماکن وفق شروط محددة ، واستخدام الأدوات المرئیة مثل الشبکات لتمثیل هذه المشکلات وحلها ،والتی یمکن أن تساعد فی تنمیة انخراط الطلاب فی تعلم الریاضیات .
2. المعلمین من خلال : تقدیم دلیل معلم لتوضیح کیفیة تدریس مفاهیم وتعمیمات هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الإعدادیة ، وتقدیم أدوات مناسبة للتعرف علی قدرة الطلاب علی حل المشکلات المتعلقة بهندسة التاکسی ، ومقیاس للتعرف علی مدى انخراط طلاب المرحلة الإعدادیة فی تعلم الریاضیات .
3. توجیه نظر القائمین علی تطویر مناهج الریاضیات الی احد أنواع الهندسات اللااقلیدیة الحدیثة ( هندسة التاکسی ) والتی یمکن تقدیمها لطلاب المرحلة الإعدادیة فی صورة وحدة تتضمن مفاهیمها وتعمیماتها ضمن مقرر الهندسة المقدم لهم .
4. الباحثین من خلال : فتح أفاق جدیدة لإعداد دراسات مماثلة لتدریس الهندسة التاکسی فی مراحل التعلیم المختلفة .

إجراءات البحث : للإجابة عن أسئلة البحث والتحقق من صحة فروضه تم إتباع الإجراءات التالیة  :

1. الاطلاع علی الأدبیات التربویة والبحوث والدراسات السابقة والخاصة بالهندسة التاکسیة وحل المشکلات والانخراط فی التعلم وذلک للاستفادة منها فی جمیع مراحل البحث .
2. إعداد وتطبیق استبیان للمتخصصین فی الریاضیات للتعرف على أهم المفاهیم والتعمیمات الخاصة بهندسة التاکسی والتی یمکن تقدیمها للطلاب فی المرحلة الإعدادیة للتوصل منها الى قائمة بأهم هذه العناصر.
3. إعداد أدوات البحث (الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی - دلیل المعلم لتدریس الوحدة المقترحة - اختبار حل المشکلات - مقیاس الانخراط فی تعلم الریاضیات ) ، ثم عرضهم على مجموعة من المحکمین المتخصصین فی الریاضیات وتعلیم الریاضیات للتأکد من صدقها وثباتها وإجراء التعدیلات المناسبة فی ضوء أرائهم وتوجیهاتهم للتوصل الی الصورة النهائیة لکل منها .
4. اختیار مجموعة البحث .
5. تطبیق أدوات القیاس قبلیا على مجموعة البحث .
6. تدریس الوحدة التجریبیة المقترحة لمجموعة البحث .
7. تطبیق أدوات القیاس بعدیاً على مجموعة البحث .
8. تفریغ البیانات وإجراء المعالجة الإحصائیة .
9. عرض نتائج الدراسة المیدانیة وتحلیلها وتفسیرها ومناقشتها  .
10. تقدیم التوصیات والمقترحات فی ضوء النتائج .

تحدید مصطلحات البحث :-

فاعلیة                                                             Effectiveness

یعرفها مجدی عزیز ابراهیم ( 2009 ، 753 ) بأنها : تحدید الأثر الذی یحدثه العامل التجریبی المقترح لتحقیق الأهداف التی وضعت من أجله .

وتعرف اجرائیا بأنها : مدى الأثر الذى تحدثه الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی لتنمیة حل المشکلات والانخراط فی التعلم لدى طلاب المرحلة الإعدادیة  .

هندسة التاکسی                                             Taxicab Geometry

تعرف هندسة التاکسیبأنها إحدى فروع الهندسة اللااقلیدیة والتی یتم فیها استبدال المسافة المتریة بنظام قیاس جدید تکون فیه المسافة بین نقطتین هی عبارة عن مجموع القیم المطلقة لفروق إحداثیاتهما.  وینسجم أسلوب القیاس للمسافات فی هندسة التاکسی مع واقع الحیاة وما یتم فعلاً فی المدن الحدیثة . (Coons , E et al , 2015  , 1 )

وتعرف إجرائیا بأنها : إحدى الهندسات الحدیثة والتی تختلف مع الهندسة الاقلیدیة فی أسلوب قیاس المسافة بین نقطتین فی المستوى ، حیث تعرف المسافة التاکسیة بأنها مجموع القیم المطلقة للفروق بین احداثیات النقطتین .

حل المشکلات                                                 Problem Solving

یعرفها هشام إبراهیم إسماعیل ( 2011 ، 134) بأنها : الإجراءات والأنشطة التی یقوم بها الطالب أثناء حله للمشکلة، وهو سلوک یعتمد على القراءة والتفسیر والتحلیل، ویقوم الطالب بربط خبراته السابقة التی تعلمها من قبل بالمعلومات المعطاة فی المشکلة من أجل الوصول إلى الحل الصحیح.

وتعرف إجرائیا بأنها : نشاط عقلی یتضمن الکثیر من العملیات العقلیة المتداخلة مثل القراءة - التذکر-  التفسیر - التحلیل - الترکیب- التی یقوم بها الطلاب فی الصف الثالث الإعدادی عند محاولتهم لإدراک عناصر المشکلة والخاصة بهندسة التاکسی والربط بین المعلومات السابقة والمعطیات والسیر فی الخطوات ، وذلک من أجل الوصول للحل الصحیح ،ویستدل علی ذلک من خلال الدرجة التی یحصل علیها الطالب فی اختبار حل المشکلات المعد لذلک .

الانخراط فی التعلم   Learning Engagement                                      

یعرفه عاصم محمد ( 2014 ، 51) بأنه : استمتاع الطالب بقضاء وقت أطول فی التعلم وانشغالهم بممارسة الأنشطة والتزامهم بالمهام المحددة وتفاعلهم الایجابی مع زملائهم ومع معلمهم واستخدامهم لأسالیب واستراتیجیات التنظیم الذاتی .

ویعرف إجرائیا بأنه : قضاء طلاب الصف الثالث الإعدادی وقت أطول فی تعلم هندسة التاکسی ، وانشغالها بممارسة الأنشطة والمهام التی یکلفهم بها معلم الریاضیات داخل عرفة الصف ، مع التزامهم بالتعلیمات والوقت المحدد ، وتفاعلهم الایجابی مع زملائهم ومعلمهم ، ویستدل علی ذلک من خلال الدرجة التی یحصل علیها الطالب فی مقیاس الانخراط فی التعلم المعد لذلک .

الإطار النظری للبحث

أولا : هندسة التاکسی :

قدم مینکوسکی Minkowski هندسة التاکسی فی القرن التاسع عشر، وهی إحدى فروع الهندسة اللااقلیدیة والتی یتم فیها استبدال المسافة المتریة بنظام قیاس جدید تکون فیه المسافة بین نقطتین هی عبارة عن مجموع القیم المطلقة لفروق إحداثیاتهما.  وینسجم أسلوب القیاس للمسافات فی هندسة التاکسی مع واقع الحیاة وما یتم فعلاً فی المدن الحدیثة . (Coons , E et al , 2015  , 1 )

وبالتالی یمکن تعریف هندسة التاکسی geometry taxicab فی هذا البحث بأنها هندسة لااقلیدیة تختلف مع الهندسة الاقلیدیة  فی أسلوب قیاس المسافة بین نقطتین فی المستوى ، حیث تعرف المسافة التاکسیة بأنها مجموع القیم المطلقة للفروق بین احداثیات النقطتین .

فمثلاً : إذا أراد سائق سیارة التاکسی أن ینتقل من مکان إلى آخر داخل مدینة سکنیة بها العدید من المبانی والمنشآت فالطریقة الوحیدة التی یمکنه التحرک بین نقطتین هی التحرک فی خط مستقیم أفقیاً أو رأسیاً، ویکون الانعطاف بزاویة قائمة  (Cho, H  , 2014 , 256)  - کما هو موضح فی شکل ( 2 ) الذی یمثل نموذجا تخطیطیا لمدینة سکنیة منتظمة الشوارع حیث تمثل المربعات البیضاء المبانی والمنشآت السکنیة بینما تمثل الشوارع بالخطوط الرمادیة ، لذا عند قطع المسافة بین نقطتین فی المدن السکنیة الحدیثة، فالمسافة المقطوعة لیست بالضرورة أن تکون المسافة المباشرة کما هو متعارف علیه فی الهندسة الاقلیدیة.

وحیث أن عدادات التاکسی تصمم على أساس المسافات المقطوعة فإن قیاس المسافة باستخدام الهندسة الإقلیدیة لا یعطی النتیجة الصحیحة ، ویکون الأسلوب الأمثل هو استخدام هندسة التاکسی من خلال عد عدد المربعات بین النقطتین وهذا ما یمثله الخطوط الملونة ، والتی تعبر عن المسافة التاکسیة الفعلیة المقطوعة بین النقطتین . (سالم بن سعید الهدیفی ، 2011 ، 19)

فغی شکل ( 2 ) یتضح أن المسافة التاکسیة بین النقطتین الموضحتین هى 12 وهی المسافة الناتجة من عد عدد المربعات بین النقطتین والتی قطعها سائق التاکسی وهی تطبیق للمعادلة التالیة Wikipedia  , 2019 , 1- 3 )  )

المسافة التاکسیة = القیمة المطلقة لفرق السینات + القیمة المطلقة لفرق الصادات

                =

                = 6 + 6 = 12

وتکون النتیجة مختلفة عن المسافة المحسوبة من خلال هندسة اقلیدس والتی تحسب من خلال القانون = 4852,8

ومن أهمالمسلمات هندسة التاکسی  474 - 475 ) Dreiling K, M ,  2012 ,)

(1) الخطوط الأفقیة والخطوط الرأسیة تمثل الشوارع والمستوى عبارة عن شبکة من الخطوط.

(2) النقاط یمکن أن تقع عند تقاطع الخطوط .

(3) إحداثیات النقاط تکون أعدادًا صحیحة دائماً.

(4) المسافة بین نقطتین هی أقل عدد من المربعات التی یمکن لسیارة وهمیة أن تقطعها لتصل من النقطة الأولى إلى النقطة الثانیة.

وبذلک یوجد العدید من الاختلافات بین هندسة التاکسی وهندسة اقلیدس ویمکن توضیحها فی جدول (1) .

جدول ( 1) بعض الاختلافات بین هندسة التاکسی وهندسة اقلیدس

ویمکن الإشارة الی الأهمیة التربویة لتقدیم مفاهیم وتعمیمات هندسة التاکسی للطلاب فی مراحل التعلیم المختلفة بأن تقدیمها للطلاب یساعد علی :

1. توضیح دور الریاضیات فی الحیاة الیومیة ، فلهندسة التاکسی العدید من التطبیقات المختلفة والمتنوعة فی حیاة الطالب الیومیة فمثلا یستخدم الطالب المسافة التاکسیة فی التحرک فی شوارع المنطقة السکنیة التی یعیش بها ولا یستخدم المساقة الاقلیدیة ، وتساعد هندسة التاکسی الطلاب على تحدید المسارات المختلفة بین المناطق علی الخرائط الجغرافیة أو باستخدام تطبیقات الملاحة الجغرافیة واختیار افضل وأقصر المسارات مما بساعد علی توفیر الوقت والنفقات ، کما یساعدهم علی تحدید نمط توزیع بعض مکاتب تقدیم الخدمات العلاجیة أو التقنیة او التعلیمیة ..... الخ داخل المناطق السکنیة والتی قد یحددها مجلس إدارة الحی بحیث توفر الخدمات للمجموعة السکنیة المحیطة .
2.  استخدام الأدوات الریاضیة مثل الشبکة التربیعیة لتمثیل المبانی والشوارع فی المدن السکنیة ؛ مما یساعد علی تدریب الطلاب علی مهارات النمذجة ،وحل المشکلات الریاضة والتواصل باستخدام لغة الریاضیات واتخاذ القرار.
3. تعمیق فهم الطلاب المفاهیم الهندسة ، وتوضیح أن اختلاف رسم الإشکال الهندسیة فی کل من الهندستین الاقلیدیة والتاکسیة راجع الی اختلاف تمثیل کل من المستوی والنقاط والخطوط وطریقة قیاس المسافة بین الهندستین.

حیث یشیر  ( 2013 , 615 - 617 ) Smith, C. E. الی أن تدریس هندسة التاکسی کأحد أنواع الهندسات اللااقلیدیة یساعد الطلاب علی إدراک المفاهیم والتعریفات التی تعودوا علی استخدامها فی هندسة اقلیدس ، فعندما تسأل الطلاب ما هی الدائرة فی هندسة اقلیدس، یذکر بعض الطلاب أنها شکلًا مستدیرًا ثنائی البعد ، ویذکر آخرون بعض الخصائص المحددة للدائرة ، مثل نصف القطر أو القطر ، بینما أخرون یذکرون بعض الحقائق حول الدائرة ، ولکن کل هذا لا یمثل تعریفا دقیقا للدائرة حیث یقدم معظم الطلاب وصفاً بدلاً من تعریف ، ولم یکن الوصف محددًا بما فیه الکفایة. بالرغم أن تعریف الدائرة هو  " موضع النقاط على مسافة واحدة من نقطة معینة " لم یکن مصطلح مألوفا لجمیع الطلاب .

ولکن عند رسم الدائرة بالاعتماد علی تعریفها وطریقة قیاس المسافات فی هندسة التاکسی ، یدرک الطلاب أن تعریف الأشکال الهندسیة لم تختلف بین الهندستین ولکن طریقة رسم الأشکال اختلفت – کما هو موضح بشکل (3 ) - وذلک لاختلاف أسلوب قیاس المسافاتNirode , W ,  2015 , 113 – 114 ) . )

وبذلک یتحرر الطلاب من الصورة الذهنیة للدائرة على أنها دائما مستدیرة ، والترکیز علی التعریف الریاضی لها " بأنها مجموعة من نقاط على مسافة واحدة من مرکز " ، حیث أظهرت هندسة التاکسی أن الاستدارة لیست جزءا من التعریف ولکن نتیجة لطبیعة المستوى والفضاء وبذلک تساعد هندسة التاکسی على إزالة کل الافتراضات الغیر الصحیحة وتکشف المعنى الحقیقی للتعریف.

Kinach , B. M ,) 2012 , 539 )

ویمکن تقدیم هندسة التاکسی لکل من طلاب المراحل التعلیمیة المختلفة من الابتدائیة الی الجامعیة من خلال مجموعة من الأنشطة الاکتشافیة التی تساعدهم على إعادة اکتشاف المفاهیم الهندسیةوالتعریفات الخاصة بالأشکال الهندسیة وطریقة رسمها . (Ada,T &  Kurtuluş, A ,2015 ,164-165  )

ومن الدراسات التى قدمت مفاهیم ونظریات هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الثانویة دراسة T et al  , 2009)  Neto,) والتی هدفت الی زیادة فهم طلاب الصف العاشر والحادی عشر فی المدارس البرتغالیة للهندسة المستویة والعلاقات المختلفة المتضمنة فیها وذلک من خلال تقدیم نوعین مختلفین من الهندسات اللااقلیدیة هما الهندسة التاکسیة والزائدیة وذلک من خلال الترکیز علی العناصر المشترکة والمتشابهة بین الهندسات مع الترکیز على استنباط العلاقات والبراهین لذلک الغرض . بینما دراسة ( نیرمین حمدی حسن ، 2009) والتی هدفت الی تطویر منهج الریاضیات فی المرحلة الثانویة فی ضوء بعض البرامج العالمیة وذلک من خلال إدخال العدید من الموضوعات الریاضیة الجدیدة مثل هندسة التاکسی ودراسة  (Ada,T et al ,2014 )  وکان الهدف منها مراقبة عملیة تطویر مفهوم القطع المکافئ فی هندسة التاکسی لطلاب الصف التاسع  فی حین دراسة (Ada,T &  Kurtuluş, A , 2015) ) والتی اعتمدت على أنشطة اکتشافیه فی هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الثانویة .

بینما الدراسات التی قدمت مفاهیم ونظریات هندسة التاکسی فی المرحلة الجامعیة مثل دراسة  (Damcke , D et al , 2008)  والتی هدفت الی تعزیز فهم مدرسی المرحلة الثانویة للهندسة الاقلیدیة من خلال تقدیم نوعین من الهندسات اللااقلیدیة ( التاکسیة و الناقصیة ) باستخدام التعلم التعاونی ضمن مقرر فی معسکر التدریب الصیفی ، ودراسة (Ada , T & Kurtuluş , A , 2009 )  التی استخدمت برنامج کمبیوتر لتدریب الطلاب معلمی الریاضیات علی صیاغة المشکلات الریاضیة فی هندسة التاکسی واستخدام البرنامج فی محاولة اختبار صحة حلهم للمشکلات التی وضعوها بأنفسهم ، فی حین أن دراسة Fung , M, G , 2010 )  ) اهتمت بتدریب طلاب الجامعة علی أنواع الکتابة الریاضیة المختلفة من خلال مقرر تدریس للهندسات اللااقلیدیة الکریة والتاکسیة ومقارنتهم بهندسة اقلیدس ، بینما دراسة Ada,T ,2013)) استخدمت الأنشطة فی تدریس هندسة التاکسی للطلاب المعلمین ، واختبرت دراسة (علاء المرسی أبو الرایات ، 2016 )  فعالیة أنشطة استقصائیة قائمة على هندسة التاکسی فی تنمیة التمثیل البصری وفهم بنیة الهندسة وحب الاستطلاع لدى الطلاب المعلمین شعبة الریاضیات  ، بینما استخدمت دراسة Miller , N, 2017) ) مشاریع البحث العملی للریاضیات (ARPs) لتدریب الطلاب معلمی الریاضیات لمرحلة التعلیم العلیا علی مهارات البحث والاستقصاء فی العدید من الموضوعات منها الهندسة التاکسیة کإحدى أنواع الهندسات اللااقلیدیة.

ومن خلال الاطلاع علی الدراسات والبحوث السابقة التی تناولت هندسة التاکسی تبین قلة الدراسات الأجنبیة التی اهتمت بتقدیم هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الثانویة ، کما لا توجد الا دراسة واحدة قدمت هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الإعدادیة  - علی حد علم الباحثة - وهی دراسة (Ada , T et al ,  2014)  ، وکذلک قلة الدراسات العربیة التی تناولت هندسة التاکسی فعلی حد علم الباحثة لا توجد إلا دراستین عربیتین فقط وهما دراسة ( نیرمین حمدی حسن ، 2009)  فی المرحلة الثانویة ودراسة ( علاء المرسی أبو الرایات ، 2016 ) للطلاب معلمی الریاضیات .

وتتفق الدراسة الحالیة مع الدراسات والبحوث السابقة فی إمکانیة تقدیم أنواع من الهندسات اللااقلیدیة لطلاب المراحل التعلیمیة المختلفة ومن ضمنها هندسة التاکسیللتشابه الکبیر بین هندسة التاکسی و الهندسة الاقلیدیةولتطبیقاتها العملیة المختلفة ، وتختلف الدراسة الحالیة مع الدراسات والبحوث السابقة فی تقدیم مفاهیم ونظریات هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الإعدادیة من خلال وحدة مقترحة تحتوی علی العدید من الأنشطة الاکتشافیة والتطبیقات الواقعیة لهندسة التاکسی وذلک بهدف تنمیة حل المشکلات والانخراط فی تعلم الریاضیات لدى الطلاب .

ثانیا: حل المشکلات  : 

المشکلة :

یواجه الطالب العدید من المواقف المعضلة أو الأسئلة المحیرة التی لم یتعرض لها من قبل ولیس لدیه معرفة سابقة لیتوصل لحل لها مما یسبب له حیرة واندهاشا .

ویعرف (عایش محمود زیتون، 2007 ، 95) المشکلة بوجه عام، على أساس أنها حالة یشعر فیها الطالب بأنه أمام موقف مشکل أو سؤال محیر یجهل الإجابة عنه ویرغب فی معرفة الإجابة الصحیحة، وهکذا یمثل الموقف مشکلة للطالب إذا کان على وعی بوجود هذا الموقف المشکل، ویعترف بأنه یتطلب فعلا أو عملا ما، ویرغب فی أو یحتاج إلى القیام بإجراء ما لیقوم به ولا یکون الحل جاهزا فی جعبته .

ویمکن القول بأن الموقف الذی یتعامل معه الطالب لا یمکن أن یکون بمثابة مشکلة الا اذا توافرت فیه بعض الشروط : ( 1) وجود هدف محدد أمام الطالب یسعى لتحقیقه  ( 2 ) وجود عائق یواجه الطالب ویحول بینه وبین تحقیق هذا الهدف ( 3 ) وجود رغیه لدى الطالب للتغلب على هذا العائق لتحقیق الهدف وذلک من خلال بذل محاولات للتغلب على هذه المشکلة حیث یربط الطالب ما لدیه من معلومات سابقة مع ما هو متاح فی موقف المشکلة المقدم له بحیث یعید تنظیم تفکیره وصولا الى الحل مع استخدام خبراته ومعلوماته ومهاراته السابقة فی الموقف المشکل الجدید و تنویع مسارات التفکیر من حیث الطرق والأسالیب التی یتبعها فی الحل . (ناصر السید العتبانی ، 2009 ، 21 – 23 )

المشکلة فی الریاضیات :

ویعرف عبد الوهاب أوغیدنی ( 2014 ، 14  ) المشکلة فی الریاضیات بأنها  تنطوی على سؤال أو مسألة لا یمکن للطالب الإجابة عنها فورا، فیضطر إلى بذل الجهد، والاستعانة بخبراته السابقة والاستفادة بالمفاهیم والمهارات الریاضیة التی سبق له تعلمها للوصول للحل . ویری مجدی عزیز ) 2009، 123 ) المشکلة فی الریاضیات بأنها موقف یأخذ الصورة الکمیة أو الرمزیة ،ویقف عائقا أمام الطالب ،فیجعله ذلک یبذل جهداً متکرراً للوصول إلى الحل لتحقیق هدفه.

حل المشکلات الریاضیة :

ویعرف (إسماعیل الأمین ، 2001،  243-  244 ) حل المشکلات الریاضیةبأنها نشاط عقلی یتضمن الکثیر من العملیات العقلیة المتداخلة مثل التخیل- التذکر- التجرید- التعمیم- التحلیل- الترکیب- سرعة البدیهة- الاستبصار بالإضافة إلى المعلومات والمهارات والقدرات العامة والعملیات الانفعالیة مثل الرغبة والدافع. ویعرفها (هانی محمد المالحی، 2006، 76) بأنه ذلک النشاط الذی یقوم به الطالب عند محاولته لربط العلاقة بین المعلومات السابقة والمعطیات وإدراک عناصر المشکلة إدراکاً صحیحاً وسیرة فی الخطوات وذلک من أجل الوصول للحل الصحیح لموقف غیر مألوف.

ویعرفها (هشام إبراهیم إسماعیل، 2011 ، 134) بأنها الإجراءات والأنشطة التی یقوم بها الطالب أثناء حله للمشکلة، وهو سلوک یعتمد على القراءة والتفسیر والتحلیل، ویقوم الطالب بربط خبراته السابقة التی تعلمها من قبل بالمعلومات المعطاة فی المشکلة من أجل الوصول إلى الحل الصحیح.

وبذلک یمکن تعریف حل المشکلات الریاضیة بأنها نشاط عقلی یتضمن الکثیر من العملیات العقلیة المتداخلة مثل القراءة - التذکر-  التفسیر - التحلیل - الترکیب- الذی یقوم به الطالب عند محاولته لإدراک عناصر المشکلة والربط بین المعلومات السابقة والمعطیات والسیر فی الخطوات وذلک من أجل الوصول للحل الصحیح .

وینظر البعض إلى حل المشکلات الریاضیة کهدف نسعى لتحقیقه من خلال تدریس الریاضیات ، بینما البعض الآخر ینظر إلیها على أنها طریقة أو عملیة تمکن الطالب من التغلب على الصعوبات التی یواجهها، وهناک فریق ثالث ینظر إلیها على أنها مهارة أساسیة أو سلوک یجب تعلیمه للطلاب وتعویدهم علیها . (رفعت محمد الملیجی، 2009، 52)

وتعد القدرة على حل المشکلات الناتج الأکثر أهمیة للتعلم إذ أن الطالب القادر على حل المشکلات یمکنه أن یتعلم بنفسه فی استقلالیة وأن ینمی قدراته على حل أنواع عدیدة من المشکلات غیر المألوفة لدیه، ویحتاج الطالب إلى قدر معین من المعلومات والمهارات حتى یمکنه حل المشکلة ، فالقدرة على استخدام المعلومات والحقائق هی الجزء الضروری فی عملیة حل المشکلات . (رمضان بدوی، 2003، 191)

وهناک العدید من الأسالیب أو التکنیکات الخاصة لحل المشکلات الریاضیة، تختلف عن بعضها من حیث الأفکار، والإجراءات، والعملیات التی تتضمنها کل منها. ویوجد فی أدبیات وتربویات تعلیم الریاضیات عدد من الأسالیب الخاصة لحل المشکلات الریاضیة والتی منها التخمین والتحقق ، الحل عکسیاً  ، البحث عن نمط  ، حذف بعض الحالات،  عمل قائمة منظمة ، حل مشکلة أبسط  ، رسم شکل، أو صورة، أو مخطط، أو نموذج  ، تنظیم معادلات أو متباینات ،  الوقوع فی تناقض  ، التمثیل أو المحاکاة ،  التبریر المنطقی . (فرید أبو زینة وعبد الله عبابنة ، 2010 ، 264 ) Özreçberoğlu, N., Çağanağa, Ç. K. , 2018  , 1255 ) )

ولا یوجد اتفاق عام بین التربویین فی مجال حل المشکلات حول الخطوات التی یجب أن تتبع لحل المشکلة فقد حدد جورج بولیا أربع خطوات لحل المشکلة هی:  قراءة المشکلة وفهمها ،  ابتکار خطة للحل  ، تنفیذ خطة الحل ، مراجعة الحل( نورة بوعیشة ونادیة بوشلالق ،  2013،  302) ، فی حین قدم جون دیوی ستة خطوات متتالیة لحل المشکلة الریاضیة وهی: تحدید المشکلة – تخطیط الحلول الممکنة – تقییم واختیار الحلول المختلفة – اختیار احد الحلول – تنفیذ الحل – تقییم الحل . (Borkley , E .F et al , 2005 , 188-193 )

بینما الخطوات التی تمثل القاسم المشترک فی تصورات التربویین لحل المشکلة وهی : (عبد الوهاب أوغیدنی ، 2014 ، 17  ) (1) الشعور بالمشکلة: حیث ینتبه الطالب للمشکلة ویفهم مضمونها. (2) تحدید المشکلة:  تتضمن صیاغتها فی صورة إجرائیة حتى تکون هناک فرصة لحلها. (3) جمع البیانات والمعلومات : تتضمن جمع معلومات وبیانات ذات الصلة بالمشکلة بهدف اقتراح حلول مؤقتة لها أو محاولة إیجاد مداخل لحل المشکلة.(4) اقتراح الحلول المؤقتة للمشکلة:  وهی وضع أحسن الفرضیات أو التفسیرات لحل المشکلة وحث الطالب على تقدیم أکبر عدد ممکن من الحلول الممکنة للمشکلة. (5) المفاضلة بین الحلول:  هی اختبار صحة الفروض أو التخمینات التی افترضت لحل المشکلة وفحص الحلول المؤقتة للمشکلة واختیار المناسب منها فی ضوء معاییر معینة، فإذا لم تصلح جمیعها فإنه یجب البحث عن طرق أخرى. (6) التخطیط للحل  : وفیها یتم وضع خطة لتنفیذ الحل ثم القیام بعملیة التنفیذ. (7 ) تقییم الحل : وفیها یتولى الطالب الحکم على فاعلیة أو کفاءة هذا الحل، وإمکانیة استخدامه کأساس للتعمیم فی مواقف أخرى مشابهة.

والنجاح فی حل المشکلة الریاضیة لا یعزو الى سبب واحد أو خاصیة فریدة ، فلکی ینجح الطالب فی حل المشکلة الریاضیة ینبغی علیه أن یمتلک المعرفة الریاضیة المطلوبة وحصیلة جیدة من الأسالیب المختلفة لحل المشکلات . ( Erbas , A.K & Okur.S , 2012 , 89 )

وللمعلم دور بارز فی تنمیة مهارات حل المشکلات الریاضیة وذلک من خلال : توجیه الطلاب للبحث واختبار الفرضیات، وطرح أسئلة تثیر الدافعیة للاستقصاء والبحث، والمعلم الکفؤ هو الذی یثری خبرات الطلاب من خلال المواقف والمشکلات المرتبطة بحیاتهم وواقعهم الذی یعیشونه .

فللمعلم وأداءه التدریسی دور رئیس فی إکساب وتنمیة تلک المهارات لدى الطلاب عبر تدریس موضوعات الریاضیات، فدور المعلم هو خلق الفرص التعلیمیة أثناء تدریس دروس الریاضیات والتی تمکن الطلاب من اکتساب وتعلم المعرفة ومهارات حل المشکلات المستهدفة، وحتى یوفر المعلم تلک الفرص یجب أن یعمل على : (ماهر بن محمد الغانم ، 2016 ، 158 )

1. مساعدة الطلاب فی فهم وتطبیق مهارات حل المشکلة عملیاً من خلال تدریبهم على تحلیل المشکلة الریاضیة، وفهم ما تتضمنه من رموز وعلاقات بین المعطیات والمطلوب، ورسم المخططات الموضحة لتلک العلاقات إن استدعى الأمر ذلک.
2. ربط المشکلة بمواقف حیاتیة للطلاب کلما أمکن ؛ لزیادة دافعیتهم للتعلم ، والانغماس ، والترکیز فی حل المشکلة.
3. مساعدة الطلاب على وضع خطط الحل والاحتمالات المختلفة للحلول، وکیفیة الوصول لهذا الحل، وتدریبهم على وضع الخطة والاحتمالات والفروض المختلفة، وکیفیة الاختیار من بینها وتطبیقها فی حل المشکلة.
4. تدریب الطلاب على تنفیذ الخطة الموضوعة للحل، وتسجیل الحل وفق الأسس العلمیة ، وتدوین هذا الحل والقیام بإجراءات التحقق من صدقه، مع إمکانیة الرجوع إلیه عند الحاجة والقیام بتصویبه إن ثبت عدم صحته فی حالة ظهور بیانات أو معطیات جدیدة لم تکن موجودة عند القیام بعملیة الحل.

ویعاون المعلم فی القیام بهذه الإجراءات وتقدیم المساعدات لطلابه قیامه بفحص محتوى الدرس بعنایة لاختیار أنماط مختلفة للمشکلات الریاضیة المناسبة للطلاب الذین یدرس لهم، وتکون  ذات علاقة کذلک بالمحتوى الذی یدرسه، فدور المعلم لیس إعطاء معارف جاهزة، لکن تشکیل أذهان مبدعة للطلاب، وذلک من خلال تخطیط عملیة التعلم وتنفیذها وتقویمها، والمشارکة الفعالة للطلاب فی مواقف حل المشکلات بأنواعها المختلفة، والعمل الجامعی . (Johnson , K , 2009, 13).

وأکد فایز مینا (2006، 41 ) على أهمیة تدریس حل المشکلات الریاضیة فی المنهج، وأن یتم إعطاؤها الأهمیة من حیث عرضها وأسلوب التدریس والعمل الجماعی والعمل على ربطها بواقع الطالب الحیاتی .

ویسهم تنمیة مهارات حل المشکلات الریاضیة لدى الطلاب فی تحقیق العدید من الأهداف الأکادیمیة والحیاتیة مثل : *تعلم واستیعاب مفاهیم ومصطلحات الریاضیات. *یتم من خلالها اکتشاف معارف ریاضیة جدیدة. *تعد وسیلة للتدریب على المهارات الریاضیة وإعطاء معنى لهذه المهارات. * تساعد فی انتقال أثر التعلم وتوظیفه فی أوضاع ومواقف جدیدة فی الحیاة العامة للطالب. *نمو القدرة على التحلیل والتمییز بین التشابه والاختلاف والتماثل فی المشکلة وبالتالی تنمیة مهارات التفکیر العلیا لدى الطلاب. *تحتاج حل المشکلات الی سلسلة من العملیات یتعلم الطلاب من خلالها أفکاراً ومفاهیم جدیدة. *ارتباط حل المشکلات الریاضیة الوثیق بمجموعة من العملیات لدى الطلاب مما یساعد علی تنمیة عادات التفکیر الفعال والمنتج لدیهم. *تعلم الطلاب المرونة فی التفکیر، والتوصل إلى الحل بأقل الإجراءات. *خفض القلق عند تعلم الریاضیات والاختبار فیها، وتنمیة الثقة بالنفس. *یعد تعلیم الطلاب حل المشکلات بمثابة الجزء التکاملی لمناهج الریاضیات لکونها العملیة التی بواسطتها یمکن تعلم مفاهیم جدیدة. *تعد وسیلة مناسبة لإثارة الفضول الفکری لدى الطلاب. *تساهم فی تحسین اتجاهات الطلاب نحو الریاضیات، وتزید من ثقتهم بأنفسهم، وتشعرهم بلذة النجاح عندما یکتشفون طریقة حل المشکلة ویتوصلون إلیه. ( فرید أبو زینة، 2010، 203 ) (أشرف نبیل السمالوطی ، 2010 ، 40 ) ( ماهر بن محمد الغانم ،2016، 155)( new zealand government, 2019 , 1- 2) ِ (Aydogdu  , M & Ayaz , M.F , 2008 , 541 – 542)

لذلک اهتمت العدید من الدراسات التربویة بتنمیة مهارات حل المشکلات لدی الطلاب وذلک من خلال استخدام بعض الاستراتیجیات التدریسیة مثل استراتیجیة التساؤل الذاتی کما فی دراسة ( نیفین علی عطا الله واخرون ، 2015 ) أو استخدام   Singapore Model کما فی دراسة Preston, A, I , 2016 )   )  أو استراتیجیات تجهیز ومعالجة المعلومات کما فی دراسة ( یحیی زکریا صاوی ، 2018 ) والتدریس وفق منهج STEM مثل دراسة ( نجوى بنت عطیان المحمدی ، 2018 ) أو اختبار تأثیر استراتیجیات ما وراء المعرفة وعملیات التنظیم الذاتی عند حل المشکلات الریاضیة کما فی دراسة   (Vula, E et al , 2017) واستخدام نموذج Bar Model Drawing کما فی دراسة  Morin, L. L et al , 2017 ) (

بینما اهتمت بعض الدراسات الأخری بتوفیر بیئة تعلم الکترونیة واختبار أثرها فی تدریب الطلاب علی حل المشکلات الریاضیة مثل دراسة ( محمد أحمد آل مطهر ، 2013) والتی هدفت الی اختبار أثر برنامج الکترونی مقترح لتنمیة تدریس حل المشکلة الریاضیة لدى معلمی الریاضیات بالمرحلة الثانویة وعلاقة ذلک بنمو بعض جوانب الإبداع لدى طلابهم ، فی حین استخدمت دراسة ( عصام إدریس کمتور وأخرون ، 2016 ) التعلم الإلکترونی لتنمیة مهارة حل المشکلات لدى طلاب المستوی الأول بکلیة التربیة جامعة الخرطوم ، ودراسة (Choi, J & Walters, A , 2018 )   التی استخدام مجموعات النقاش الصغیرة علی الانترنت .

فی حین اهتمت بعض الدراسات التربویة بتقدیم برامج لتنمیة حل المشکلات مثل: دراسة (مصعب محمد جمال وآخرون ، 2015 ) التی قدمت برنامج تدریبی مقترح لمعلمی الریاضیات فی ضوء احتیاجاتهم التدریبیة ، بینما قدمت دراسة ( هانی عبد القادر الأغا وآخرون ، 2016 ) برنامج مقترح فی ضوء المعاییر الدولیة لتنمیة مهارات حل المشکلات الحیاتیة فی الریاضیات للطلبة المتفوقین بالمرحلة الثانویة ، ودراسة ( خالد جمال الدین اللیثى ، 2017 ) والتی هدفت الی التعرف علی أثر برنامج تعلیمی مقترح قائم على تطبیقات الریاضیات الحیاتیة لتنمیة مهارات حل المشکلات لدى طلاب المرحلة الثانویة ، فی حین قدمت دراسة ( سلامة بنت سعید بن محمد البدریة ورضا أبو علوان ، 2017 ) برنامج قائم على تکوین وحل المشکلات الریاضیة لتنمیة قدرة الطلبة مرتفعی التحصیل على تکوین المشکلة فی ضوء قدرتهم الریاضیة .

ویتفق البحث الحالی مع الدراسات والبحوث السابقة فی أهمیة تنمیة حل المشکلات لدی الطلاب، ولکن یختلف فی المشکلات الریاضیة التی یقدمها للطلاب ، حیث یقدم لهم مجموعة من المشکلات الریاضیة التطبیقیة والواقعیة فی حیاة الطلاب والمتعلقة بإحدى الهندسات الحدیثة " هندسة التاکسی " والتی من خلالها یمکن تدریب الطلاب علی مهارات وخطوات حل المشکلات الریاضیة ، وذلک من خلال تقدیم وحدة مقترحة فی هندسة التاکسی لطلاب المرحلة الإعدادیة. 

ثالثا : الانخراط فی التعلم  :

یؤثر انخراط الطلاب فی التعلم على تشکیل وجدان الطلاب وتحسین مستواهم الأکادیمی والسلوکی، وتوجهاتهم الأکادیمیة المستقبلیة .

حیث یعرف الانخراط  فی التعلم بأنه مقدار الجهد المبذول من قٍبل الطلاب فی المشارکة  فی الأنشطة المدرسیة وتکوین اتجاهات ومیول ایجابیة نحو التعلم ، وذلک من خلال إبداء الرأی والمشارکة والمثابرة، وإظهار قدر کبیر من الاهتمام بعملیة التعلم. (سربناس  وهدان، 2018 ، 5 )

وتعرفه رفعة رافع الزغبی ( 2013 ، 229 ) بأنه انشغال الطالب بنشاط ذو صلة مباشرة بعملیة التعلم داخل غرفة الصف، وذلک من خلال الانتباه والمشارکة وبذل الجهد والالتزام بتعلیمات المعلم . ویعرفه عاصم محمد ( 2014 ، 51) بأنه استمتاع الطالب بقضاء وقت أطول فی التعلم وانشغالهم بممارسة الأنشطة والتزامهم بالمهام المحددة وتفاعلهم الایجابی مع زملائهم ومع معلمهم واستخدامهم لأسالیب واستراتیجیات التنظیم الذاتی .

ویمکن تعریف الانخراط فی تعلم الریاضیات بأنه قضاء الطالب وقت أطول فی تعلم الریاضیات وانشغالهم بممارسة الأنشطة والمهام التی یکلفهم بها معلم الریاضیات داخل عرفة الصف مع التزامهم بالتعلیمات والوقت المحدد وتفاعلهم الایجابی مع زملائهم ومعلمهم.

ویصنف الانخراط الی ( 1 )  الانخراط السلوکی  : مشارکة الطلبة فی أنشطة أکادیمیة واجتماعیة وإثرائیة  ، ( 2 ) والانخراط العاطفی : امتلاک الطلبة اتجاهات ایجابیة وتفاعلات نحو المدرسة والمعلمین والتعلم والأصدقاء، ( 3)  الانخراط المعرفی: تنفیذ الطلبة لمشارکات تعلیمیة بطریقة فاعلة ومنظمة ذاتیا. Yang ,Y , 2011 , 182 ) )

وانخراط الطلاب فی التعلم یتوقف على عدة عوامل من أهمها أن یتصف سلوک معلمیهم بالرعایة وسهولة الوصول إلیهم، بحیث یزود هؤلاء المعلمون طلابهم بالتغذیة الراجعة، ویقدمون المساعدة لکل طالب بشکل مباشر، ویظهرون قدراً من الاهتمام بالطلاب داخل السیاقات التعلیمیة وخارجها مما یسهم فی تحقیق الانخراط فی مهمات التعلم ( نجلاء محمد فارس ، 2016 ، 337)

والمعلم یمکنه أن یحقق الانخراط فی التعلم من خلال *مساعدة الطلاب على العمل مع بعضهم البعض .*السماح للطلاب بالعمل بشکل مستقل قبل المشارکة فی مجموعات صغیرة أو کبیرة. *إشراک الطلاب فی المناقشات الریاضیة عن طریق طرح الأسئلة التی تشجع على المناقشة ؛ مما یسمح لهم أن یشرحوا ویبررون تفکیرهم ، ویعمقوا فهمهم.*تشجیع الطلاب على طرح الأسئلة  لتوضیح ونقد تفکیر زملائهم وإثبات صحة الحلول .*شجع الطلاب على المخاطرة فی الریاضیات من خلال: قیامهم بمجموعة من الاکتشافات والتخمینات.مع تذکیر الطلاب باستمرار أن الأخطاء متوقعة وطبیعیة مع مساعدة الطلاب على التعرف على ما تعلموه من خلال تحلیل أخطائهم وتحدید سوء الفهم. * تمکین الطلاب من الوصول إلى الاستنتاجات وتبریرها استنادًا إلى معرفتهم بالریاضیات دون الاعتماد على سلطة المعلم. Kersaint ,G ,  2015,) 1-4 )      (Tendre, B . L. ,  2018 ,  1-2 ) (Young , S , 2015, 2-5 )   

وحدد شریف سالم  (2013، 2 ) مبادئ الانخراط فی التعلم فی احترام التنوع فی المواهب وطرق التعلم، مستوى توقعات المعلم بالطلاب، الزمن المستغرق فی اتمام مهام التعلم، تقدیم تغذیة الراجعة ، التعلم النشط ، تعاون الطلاب مع زملائهم ، تفاعل الطلاب مع المعلم، فلکی ینخرط الطلاب فی التعلم یجب على المناهج والمقررات أن تتضمن أنشطة، تفاعل، واستکشاف، والارتباط بالحیاة الواقعیة للطلاب .

وانهماک الطلاب وانخراطهم فی مهمات التعلم تسمح لهم بالاستفادة بشکل أکبر من المادة التی یعرضها المعلم، ویتوقع أن یکون تحصیلهم أعلى ، واحتفاظ الطلاب بالتعلم، وزیادة رغبتهم فی إتقان العمل ، والفهم والتعبیر عن الذات ، وتحمل التحدیات والعقبات ، وتحسین قدرتهم علی حل المشکلات . (DeCristofaro, C et al , 2014 , 47- 48 )

واهتمت بعض الدراسات بالتعرف علی مدى انخراط الطلاب فی تعلم الریاضیات مثل دراسة   Liu, R . D et al , 2018) ( والتی هدفت الی استقصاء العلاقة بین الکفاءة الذاتیة الأکادیمیة والاتجاهات الإیجابیة بین دعم المعلم وانخراط طلاب المرحلة الابتدائیة فی التعلم فی فصل الریاضیات ، ودراسة (Deveci, O &Aldan K. C , 2019 ) والتی هدفت الی استقصاء انخراط طلاب الصف الخامس الابتدائی فی تعلم منهج الریاضیات .

واهتمت العدید من الدراسات بتنمیة الانخراط فی التعلم وذلک من خلال استخدام الاستراتیجیات التدریسیة مثل دراسة ( عاصم محمد ، 2014 ) التی استخدمت  الویب کویست لتنمیة الانخراط فی التعلم ، فی حین اهتمت دراسة (Barreto, D et al , 2017 ) بالتعرف علی مدى انخراط الطلاب فی تعلم الریاضیات من خلال ألعاب الفیدیو ، بینما استخدمت دراسة (ولید سالم ،  2018  ) الفصول المقلوبة للتعرف علی العلاقة بین معدل تجزئة الفیدیو ومستوى التعلم المنظم ذاتیاً فی تنمیة الانخراط فی التعلم .

وتعددت البرامج التی أعدت لتنمیة الانخراط فی التعلم للطلاب المعلمین مثل دراسة  ( أحمد صادق ، 2014 ) والتی قدمت برنامج تدریبی مقترح قائم على التعلم عبر الموبایل ، بینما دراسة  ( ماریان جرجس ، 2016)  فقدمت برنامج قائم على النظریة الاتصالیة باستخدام بعض تطبیقات الجوجل التفاعلیة ، ودراسة (أمل الحنفی  ، 2018) التی قدمت برنامج قائم على الخرائط الذهنیة الرقمیة . فی حین قدمت بعض الدراسات البرامج لتنمیة الانخراط فی التعلم للطلاب ذوی صعوبات التعلم مثل دراسة ( ولید خلیفة وماجد عیسى ، 2018  ) والتی قدمت برنامج للتعلیم المتمایز المحوسب فی ضوء الذکاءات المتعددة وأسالیب التعلم لتحسین الانخراط فی تعلم الریاضیات لدى التلامیذ الموهوبین ذوی صعوبات التعلم ، ودراسة  ( سربناس وهدان ، 2018) والتی أعدت برنامج للتعلیم المتمایز فی تحسین الانخراط فی التعلم لدى الطالبات ذوات صعوبات التعلم .

وتتفق الدراسات والبحوث السابقة علی أهمیة تنمیة الانخراط فی التعلم فی مراحل التعلیم المختلفة ، وذلک برغم اختلافهم فی الاستراتیجیات والبرامج المستخدمة فی تنمیته وبرغم ذلک فهناک قلة فی الدراسات العربیة التی تناولته بشکل عام وفی تعلیم الریاضیات بشکل خاص فلم تتناوله الدراسات العربیة فی مجال تعلیم الریاضیات – علی حد علم الباحثة - إلا دراسة (أحمد صادق ، 2014 ) و دراسة (  أمل الحنفی  ، 2018) وذلک لتنمیة الانخراط فی التعلم للطلاب معلمی الریاضیات و دراسة ( ولید خلیفة وماجد عیسى ، 2018  ) وذلک لتنمیته للطلاب الموهوبین ذوی صعوبات التعلم.

وبذلک یختلف البحث الحالی عن الدراسات والبحوث السابقة من حیث العینة وطبیعة المتغیر المستقل المستخدم فی تنمیة الانخراط فی تعلم الریاضیات حیث یهتم البحث الحالی بتنمیة الانخراط فی تعلم الریاضیات لدى طلاب الصف الثالث الإعدادی من خلال تقدیم وحدة مقترحة فی هندسة التاکسی لهم .

الإطار التجریبی للبحث

أولا : إعداد أدوات التجریب:

1-  تحدید المفاهیم والتعمیمات الخاصة بالهندسة التاکسی المتضمنة فی الوحدة :

تم تحدید المفاهیم والتعمیمات الخاصة بهندسة التاکسی المتضمنة فی الوحدة من خلال الاطلاع على خصائص واتجاهات ومیول طلاب المرحلة الإعدادیة وأهداف تعلیم الریاضیات لهذه المرحلة والاطلاع علی العدید من الأبحاث العربیة والأجنبیة التی اهتمت بتقدیم هندسة التاکسی للطلاب فی المراحل التعلیمیة المختلفة مثل  Dreiling K, M ,  2012 ) ) Damcke , D et al , 2008)  ) Ada , T & Kurtuluş , A , 2009 ) ) (Fung , M, G , 2010 )  Ada,T , 2013)  ) Kurtuluúa, A & Ada,T , 2015) ) Miller , N, 2017) )  ( علاء المرسی أبو الرایات ، 2016 ) ، وذلک وفق الخطوات التالیة :

v  تحدید الهدف من الاستبیان : هدف الاستبیان الى تحدید المفاهیم والتعمیمات الخاصة بهندسة التاکسی والمناسبة لطلاب المرحلة الإعدادیة.

v     تصمیم الاستبیان : احتوى الاستبیان علی قائمة بأهم المفاهیم الخاصة بهندسة التاکسی وقائمة بأهم التعمیمات والمقترح تقدیمها لطلاب المرحلة الإعدادیة  ، وصمم الاستبیان بحیث یذکر الأساتذة رأیهم حول درجة الأهمیة لکل من المفاهیم والتعمیمات وذلک من خلال وضع علامة (  Ö  ) تحت الخانة التى تدل على درجة الأهمیة (مهم – غیر مهم ) ودرجة مناسبتها لطلاب المرحلة الإعدادیة  (مناسب – غیر مناسب ) ، کما تضمن الاستبیان مقدمة تناولت هدف البحث وهدف الاستبیان .

v     صدق الاستبیان : تم عرض الاستبیان علی مجموعة من المحکمین لإبداء الرأی (ملحق 1) ومناسبته للهدف التی وضع من أجله ومدى دقة صیاغة بنوده وقد أبدى السادة المحکمون بعض التعدیلات التی أخذتها الباحثة فی الاعتبار عند إعداد الصورة النهائیة .

v     تطبیق الاستبیان : طبق الاستبیان على مجموعة من أعضاء هیئة التدریس المتخصصین فی الریاضیات بعد عقد مقابلات شخصیة معهم تم خلالها توضیح هدف الاستبیان (ملحق 2  ).

v     رصد نتائج الإستبیان : من خلال تحلیل استجابات أعضاء هیئة التدریس المتخصصین فى الریاضیات تم التوصل الى أن : المتخصصون أجمعوا على أن بنود الإستبیان سواء کانت من المفاهیم والتعمیمات یمکن تقدیمها الى طلاب المرحلة الإعدادیة ، کما أنها مناسبة لهم .

2 - إعداد الوحدة المقترحة :تم تحدید الأهداف التعلیمیة وصیاغتها سلوکیا. وتحدید محتوى الوحدة فی صورة سلسة من الموضوعات، واختیار الأنشطة التعلیمیة المناسبة، وتحدید أسالیب التقویم . ثم عرضت الوحدة على مجموعة من المتخصصین فی مجال الریاضیات وتدریسها للتأکد من صدق المحتوى العلمی ومناسبته لطلاب المرحلة الإعدادیة ، وبعد إجراء التعدیلات اللازمة ، طبقت الوحدة علی مجموعة استطلاعیة من طالبات الصف الثالث الإعدادی بمدرسة اسکان الأمیریة بنات - من غیر المجموعة الأصلیة -   بلغ عددهن ( 40 طالبة ) ؛ وذلک للتأکد من مناسبة الوحدة للطالبات الصف الثالث الإعدادی ، وتم إجراء بعض التعدیلات فی ضوء أراء طالبات التجربة الاستطلاعیة ، وبذلک أصبحت الوحدة فی صورتها النهائیة (ملحق 3  ) .

3- إعداد دلیل المعلم : واشتمل الدلیل علی مقدمة تتضمن نبذة عن هندسة التاکسی وحل المشکلات الریاضیة والانخراط فی التعلم ، والأهداف العامة لتدریس الوحدة وصیاغتها إجرائیا ، والتوزیع الزمنی لدروس الوحدة ، وخطة لتدریس کل درس من دروس الوحدة.تتضمن : عنوان الموضوع ، الأهداف التعلیمیة فی صورة إجرائیة ، والوسائل التعلیمیة ، والتمهید وإجراءات السیر فی شرح کل موضوع والتقویم ومرجع الوحدة . وقد تم ضبط الدلیل بعرضه على مجموعة من المتخصصین فی الریاضیات وطرق تدریسها وبعدد إجراء التعدیلات اللازمة أصبح الدلیل فی صورته النهائیة  (ملحق  4  )  .

ثانیاً: إعداد أدوات القیاس:

1 -  إعداد اختبار حل المشکلات :

v     الهدف من الاختبار : هو قیاس قدرة الطلاب على حل المشکلات الریاضیة والخاصة بهندسة التاکسی .

v     صیاغة مفردات الاختبار: تم صیاغة ( 10 ) مفردات مقالیه وروعیت شروط الصیاغة الجیدة عند إعداد الأسئلة ، وتوفیر الشبکة التاکسیة ، وخصصت خمس درجات لکل مفردة ؛ فأصبحت الدرجة العظمی (50 )  درجة .

v     صدق الاختبار: تم عرض الصورة الأولیة للاختبار على مجموعة من المتخصصین بهدف التأکد من وضوح المفردات ، وصحتها العلمیة ، ومناسبتها لهدف الاختبار. وتم إجراء التعدیلات التی اقترحها السادة المتخصصین فأصبح الاختبار صادقا .

v     التجربة الاستطلاعیة للاختبار: طبق الاختبار فی صورته الأولیة على المجموعة الاستطلاعیة ، وذلک بغرض حساب زمن الاختبار بنفس الطریقة السابقة فکان (120) دقیقة، وقد تم التأکد من وضوح التعلیمات. وتم حساب ثبات الاختبار فکان (88,0  ) بنفس الطریقة السابقة ؛ وبذلک أصبح اختبار حل المشکلات الریاضیة صالحا للتطبیق .

v  الصورة النهائیة للاختبار :  بلغ عدد مفردات الاختبار فی صورته النهائیة ( 10 ) مفردات  – ملحق ( 5  ) -  وخصصت خمس درجات لکل مفردة ، وبذلک تکون الدرجة النهائیة للاختبار ( 50 ) درجة والصغرى صفراً .

2 -  مقیاس الانخراط فی التعلم :-

v     الهــدف مــن المقیاس : یهدف المقیاس الی تحدید مستوى الانخراط فی تعلم الریاضیات لدى طلاب الصف الثالث الإعدادی .

v     أبعاد المقــیاس : تمت صیاغة عباراته فی الأبعاد المتمثلة فی الانخراط المعرفی فی تعلم الریاضیات ، والانخراط السلوکی، والانخراط  الوجدانی . وقد صیغت مفردات المقیاس فی عدد من العبارات بحیث تعبر کل عبارة عن فکرة واحدة ، وأن یحتوی المقیاس على عبارات سالبة وأخری موجبة، وقد درجت الإجابة عن عبارات المقیاس تدریجا ثلاثیا ( غالبا– أحیانا – نادرا)، کما روعی أن تصاغ تعلیمات المقیاس بصورة واضحة.

v     صدق المقیاس : تم عرض المقیاس فی صورته الأولیة على نفس مجموعة المحکمین السابقة ، وذلک للحکم على مدى تمثیل العبارات للأبعاد المکونة له، وقد أبدی المحکمون بعض الملاحظات ، وقد راعت الباحثة ذلک عند إعداد الصورة النهائیة .

v     التجربة الاستطلاعیة للمقیاس: طبق المقیاس فی صورته الأولیة على المجموعة الاستطلاعیة ، وذلک بغرض حساب کل من زمن المقیاس : وتبین أن الزمن المناسب لانتهاء جمیع طالبات التجربة الاستطلاعیة من الإجابة عن عبارات المقیاس هو ( 30) دقیقة. وحساب ثبات المقیاس: تم حساب ثبات المقیاس باستخدام معادلة سبیرمان براون للتجزئة النصفیة ووجد أن معامل الثبات (91,0) مما یدل عل أنه یتمتع بدرجه عالیة من الثبات .

v     الصورة النهائیة للمقیاس :بلغ عدد عبارات المقیاس فی صورته النهائیة (48 ) عبارة - ملحق ( 6 ) ، وقد أعطیت العبارة الموجبة ( غالبا ثلاث درجات ، أحیانا  درجتین ، نادرا درجة واحدة  ) ، وقد اتبع العکس فی حالة العبارة السالبة، وبذلک تکون الدرجة العظمی للمقیاس( 144 ) درجة والدرجة الصغرى ( 48 ) درجة ویوضح جدول ( 2 ) مواصفات مقیاس الانخراط فی التعلم .

جدول ( 2) مواصفات مقیاس الانخراط فی التعلم

ثالثا  : التصمیم التجریبی وإجراءات التجربة:

v     منهج البحث : استخدم البحث المنهج التجریبی القائم على المجموعة الواحدة وذلک بهدف التعرف علیفاعلیة وحدة مقترحة فی هندسة التاکسی لتنمیة حل المشکلات والانخراط فی التعلم لدى طلاب المرحلة الإعدادیة .

v  مجموعة البحث: تم اختیار مجموعة البحث من طالبات الصف الثالث الإعدادی بمدرسة الجامعة الإسلامیة بنات بإدارة الزیتون التعلیمیة ، وبلغ عدد طالبات مجموعة البحث ( 40 ) طالبة .

v  التطبیق القبلی لأدوات القیاس : تم تطبیق أدوات القیاس المتمثلة فی (اختبار حل المشکلات ومقیاس الانخراط فی التعلم ) فی الفصل الدراسی الأول للعام الدراسی 2018/2019 على مجموعة البحث   .

v  تطبیق تجربة البحث : بدأ التطبیق الفعلی للوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی  فی الفصل الدراسی الأول من العام الدراسی 2018 / 2019 ، واستمر التطبیق لمدة ( 4  أسابیع) ، وقد راعت الباحثة فی بدایة التجربة  : جذب انتباه الطالبات وإثارة فضولهن من خلال ذکر مقدمة تاریخیة عن تطور الهندسة وظهور العدید من الهندسات الحدیثة والتی سوف یتم دراسة إحداهن من خلال هذه الوحدة حیث تختلف طرق رسم الإشکال الهندسیة المتعارف علیها مع الهندسة التی قمن بدراستها ، مما أثار عجب الطالبات عندما أدرکن إن الهندسة التی تدرس لهم طوال هذه السنوات تم اکتشافها منذ أکثر من2000 عام وان هناک هندسات جدیدة لم یسمعن عنها . وتم تقسیم الطالبات الی مجموعات عمل استعدادا للقیام بالأنشطة الموجودة فی الوحدة المقترحة . ولاحظت الباحثة أثناء تطبیق تجربة البحث  ( 1 ) أبدت الطالبات حماسهن للتعرف علی هذه الهندسة وخاصة عند توضیح ارتباطها بطریقة تنظیم المدن الحدیثة وسبب اشتقاق اسمها من اسم سیارات التاکسی التی تجوب شوارع المدن وتحسب المسافة بطریقة مختلفة عن الطریقة المتبعة فی هندسة اقلیدس نتیجة لوجود المبانی والمنشات فی المدن . (2) استطاعت الطالبات نمذجة المشکلات الریاضیة المتعلقة بهندسة التاکسی بسهولة باستخدام نظام الإحداثیات . ( 3 ) اکتفت الطالبات فی بدایة الأنشطة بتقدیم حل واحد فقط للمشکلات المقدمة لذلک استخدمت الباحثة نظام المسابقات بین مجموعات العمل لحثهن علی إنتاج أکبر قدر من الإجابات الصحیحة للمشکلات الریاضیة المعطاة . ( 4) خلال انهماک الطالبات فی  الأنشطة التعلیمیة کن یقارن معرفتهن السابقة بهندسة اقلیدس والمعرفة الجدیدة التی اکتسبوها فی هندسة التاکسی ، وکن تبدین الدهشة لطریقة رسم الأشکال الهندسیة ثم تتذکرن السبب وهو اختلاف طریقة حساب المسافة والذی أدی الی ذلک .

v     التطبیق البعدی لأدوات القیاس: تم تطبیق أدوات القیاس بعدیاً والمتمثلة فی (اختبار حل المشکلات ومقیاس الانخراط فی التعلم ) على مجموعة البحث.

v     التصحیح وتحلیل البیانات إحصائیا. : وفیما یلی عرض ذلک .

رابعا: عرض النتائج ومناقشتها وتفسیرها :

فیما یلی عرض لأهم النتائج التی تم التوصل إلیها للإجابة عن أسئلة الدراسة والتحقق من صحة فروضها.

1- استخدام اختبار ( ت) للتحقق من صحة الفروض الإحصائیة الاستدلالیة الخاصة بکل من اختبار حل المشکلات ومقیاس الانخراط فی التعلم :

بعد تطبیق أدوات القیاس ( قبلیا وبعدیا ) وتصحیحهما استخدمت الباحثة الإصدار (18) لبرنامج SPSS  لحساب کل من المتوسط والوسیط والانحراف المعیاری لدرجات مجموعة البحث فی کل من التطبیقین لکل أداة  ، ولما کان البحث یتبع المنهج التجریبی ذو المجموعة الواحدة ، فیمکن استخدام اختبار "ت " لعینتین مرتبطتین.  ، ویوضح الجدول (  3  ) نتائج تحلیل البیانات:

جدول (  3  ) المتوسط الحسابی والانحراف المعیاری وقیمة ( ت) ودلالتها الإحصائیة بین متوسطی درجات الطالبات – مجموعة البحث – فی التطبیقین القبلی والبعدى لأدوات القیاس

یتضح من جدول  ( 3)  أن :

v  قیمة (ت) المحسوبة لتطبیق اختبار حل المشکلات هی (43,4) درجة عند درجات حریة  ( 39  ) ومستوی الدلالة المحسوبة ( 0,000 ) وهی أقل من (0,01) أی أنها دالة ، ویعنی ذلک وجود فرق بین متوسطی درجات مجموعة البحث فی اختبار حل المشکلات للتطبیقین القبلی والبعدی لصالح المتوسط الأعلى وهو المتوسط البعدی ، وبالتالی یثبت صحة الفرض الذى ینص على أنه "  یوجد فرق ذو دلالة إحصائیة بین متوسطی درجات مجموعة البحث فی التطبیق (القبلى- البعدی) فی اختبار حل المشکلات لصالح التطبیق البعدی " ، وأن مقدار حجم تأثیر الوحدة المقترحة لتنمیة حل المشکلات لدى مجموعة البحث هو (13,899 ) وهو کبیر جداً . وبذلک یثبت صحة الفرض الذی  ینص على أن  "مقدار حجم تأثیر الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی لتنمیة حل المشکلات لدى مجموعة البحث کبیر" .

v      وأن قیمة (ت) المحسوبة لتطبیق اختبار مقیاس الانخراط فی تعلم الریاضیات هی (51,825  ) درجة عند درجات حریة  ( 39  ) ومستوی الدلالة المحسوبة (0,000 ) وهی أقل من ( 0,01) أی أنها دالة ، ویعنی ذلک وجود فرق بین متوسطی درجات مجموعة البحث فی مقیاس الانخراط فی تعلم الریاضیات للتطبیقین القبلی والبعدی لصالح المتوسط الأعلى وهو المتوسط البعدی ، وبالتالی یثبت صحة الفرض الذى ینص على أنه "  یوجد فرق ذو دلالة إحصائیة بین متوسطی درجات مجموعة البحث فی التطبیق (القبلی – البعدی) الانخراط فی تعلم الریاضیات لصالح التطبیق البعدی. "، وأن مقدار حجم تأثیر الوحدة المقترحة لتنمیة الانخراط فی تعلم الریاضیات لدى مجموعة البحث هو (16,597 ) وهو کبیر جداً . وبذلک یثبت صحة الفرض الذى ینص على أن "  مقدار حجم تأثیر الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی لتنمیة الانخراط فی التعلم لدى مجموعة البحث کبیر".

2 - فاعلیة الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی لتنمیة حل المشکلات والانخراط فی التعلم لدى مجموعة البحث :-

من خلال استخدام معادلة الکسب المعدل لبلاک یمکن التحقق من فاعلیة الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی لتنمیة التحصل فی محتوى الوحدة وحل المشکلات والانخراط فی التعلم لدى مجموعة البحث وجدول ( 4  ) یوضح نتائج ذلک  .

جدول (  4  ) نسبة الکسب المعدل المحسوبة لتطبیق أدوات القیاس

من جدول ( 4  ) یتضح أن:

v       بینما نسبة الکسب المعدل لبلاک المحسوبة لاختبار حل المشکلاتهی (1,755 ) وهی أکبر من (2,1) وهذا یؤکد صحة الفرض القائل بأن :" تتصف الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی بدرجة مناسبة من الفاعلیة فى تنمیة مهارات حل المشکلات لدى مجموعة البحث " .

v  و نسبة الکسب المعدل لبلاک المحسوبة لمقیاس الانخراط فی التعلم هی (  1,2  ) وهذا یؤکد صحة الفرض القائل بأن "  تتصف الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی بدرجة مناسبة من الفاعلیة فى تنمیة الانخراط فی التعلم لدى مجموعة البحث " تفسیر ومناقشة النتائج:

یتضح من خلال تحلیل النتائج السابقة بالجداول  (  3  ) ، (  4 )  فاعلیة الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی لتنمیة التحصیل فی محتوى الوحدة وحل المشکلات والانخراط فی التعلم لدى مجموعة البحث ، وقد یرجع ذلک الی :

*الاعتماد علی المدخل التاریخی لجذب انتباه الطلاب وتقدیم الموضوعات المختلفة والخاصة بهندسة التاکسی متدرجة من السهل الی الصعب ، مع تقدیم الأنشطة الاکتشافیة التی تساعد الطالبات علی التوصل للتعمیمات بأنفسهن ؛ مما ساعدهن علی فهم المفاهیم والتعمیمات الخاصة بهندسة التاکسی وإدراک مدى الاختلاف والتشابه بینها وبین هندسة اقلیدس ، وهذا یتفق مع دراسة (نیرمین حمدی حسن ، 2009) Neto, T et al  , 2009)   ) Ada , T & Kurtuluş , A , 2015)  ) (علاء المرسی أبو الرایات ، 2016 ) .  

*وتشجیع الطالبات علی تقدیم العدید من الحلول المختلقة للمشکلات الحیاتیة المطروحة، وذلک من خلال التنوع بین الأنشطة الجماعیة ، وعقد المسابقات بین مجموعات التعلم التعاونیة، والأنشطة الفردیة مثل : الأنشطة التی تحث الطالبات علی استخدام هندسة التاکسی فی وصف تحرکاتها الیومیة فی المدینة التی تسکن فیها ؛ مما ساعد علی إبراز تطبیقات هندسة التاکسی الحیاتیة وتنمیة حل المشکلات لدیهن وهذا یتفق مع دراسة ( خالد جمال الدین اللیثى ، 2017 )  Neto, T et al  ,) 2009)  Ada , T & Kurtuluş , A , 2009 )  (

*کما استخدمت العدید من الاستراتیجیات التدریسیة القائمة علی التعلم النشط مثل: المناقشة ، وحل المشکلات، والتعلم التعاونی ، بالإضافة الی تنوع الأنشطة الطلابیة وتدرجها ؛ مما ساعد علی بث روح التعاون والمشارکة الایجابیة بین الطالبات ، وأدی الی انخراط الطلاب فی تعلم هندسة التاکسی . وهذا یتفق مع دراسة   ( Liu, R . D et al , 2018)  (Deveci, O &Aldan K. C , 2019 )

توصیات البحث : فی ضوء نتائج البحث یمکن التوصیة بما یلی :

• تطویر منهج الهندسة لمرحلة التعلیم قبل الجامعی ، وذلک من خلال إدخال العدید من الهندسات اللااقلیدیة ومنها هندسة التاکسی بشکل حلزونی ، وبما یتفق مع الخلفیة الریاضیة للطلاب فی کل مرحلة تعلیمیة .
• تدریب الطلاب المعلمین علی طرق إعداد الأنشطة التعلیمیة ، وطرق تدریس الهندسات اللااقلیدیة بشکل عام وهندسة التاکسی بشکل خاص .
• تزوید المکتبات المدرسیة بکتیبات تحتوى علی العدید من الأنشطة الاکتشافیة تساعد الطلاب علی اکتشاف المفاهیم الریاضیة ، وتکوین الصورة الذهنیة الصحیحة للمفهوم الریاضی .
• تدریب الطلاب المعلمین علی کیفیة صیاغة الأنشطة التعلیمیة ، والتی تساعد الطلاب علی تطبیق ما تعلموه فی الریاضیات علی مشکلات حیاتیة ؛ مما یشجعهم علی الانخراط فی التعلم .

أبحاث مقترحة : امتدادا لهذا البحث یمکن اقتراح بعض البحوث المستقبلیة ومنها :

• دراسة فاعلیة الوحدة المقترحة فی هندسة التاکسی والمقدمة فی هذا البحث فی تنمیة کل من  التفکیر الریاضی وحب الإستطلاع لدى طلاب المرحلة الإعدادیة .
• أثر استخدام برامج الکومبیوتر التفاعلیة فی تدریس هندسة التاکسی لتنمیة مهارات التفکیر الناقد والانخراط فی التعلم .
• تطویر مقررات الهندسة فی التعلیم قبل الجامعی فی ضوء الاتجاهات الحدیثة وأثره علی تنمیة حل المشکلات والانخراط فی التعلم لدى الطلاب .

المراجع

-        أحمد صادق عبد المجید ( 2014 )  : فعالیة برنامج تدریبی مقترح قائم على التعلم عبر الموبایل لإکساب معلمی الریاضیات قبل الخدمة مهارات الانخراط فی التعلم وتصمیم کائنات تعلم رقمیة ، المجلة التربویة الدولیة المتخصصة ،  مجـ (3 ) ، ع (1) ،کانون الثانی ، ص ص 1- 40

-        إسماعیل محمد الأمین (2001): طرق تدریس الریاضیات- نظریات وتطبیقات، القاهرة - دار الفکر العربی.

-        أشرف نبیل السمالوطی ( 2010) : أثر استخدام إستراتیجیة التدریس التبادلی فی تنمیة مهارات حل المشکلات الریاضیة و الاتجاه نحو الریاضیات لدى تلامیذ الصف الأول الإعدادی ، مجلة التربیة ، جامعة الأزهر ،ع (144 )  , ج( 7 ) ، دیسمبر ، ص ص 13 - 69

-        أمل محمد الحنفی (2018) : فاعلیة برنامج قائم على الخرائط الذهنیة الرقمیة فی تنمیة التحصیل والانخراط فی التعلم لدى الطلاب المعلمین شعبة الریاضیات ، مجلة تربویات الریاضیات ، مج ( 21 ) ، ع ( 5) ، أبریل ، ص ص 149 – 193

-        حسن العرسان ) 2003 ) : أثر برنامج تدریبی لاستراتیجیات حل المسالة الریاضیة فی تنمیة القدرة على حل المسالة الریاضـیة وعلى التحصیل فی الریاضیات لدى طلبة المرحلة الأساسیة ، رسالة دکتوراه ،الجامعة الأردنیة ،عمان،الأردن .

-        حمدی مرسی (2010). فاعلیة إستراتیجیة مبنیة على التعلم الموقفی فی علاج صعوبات التعلم الخاصة بالمشکلات اللفظیة الریاضیة لدى تلامیذ المرحلة الابتدائیة ، المجلة العلمیة ، مج(26) ، ع ( 1 ) ، ص ص 401 -452.

-        خالد جمال الدین اللیثى ( 2017 ) : أثر برنامج تعلیمى مقترح قائم على تطبیقات الریاضیات الحیاتیة لتنمیة مهارات حل المشکلات وإتخاذ القرار والمیل نحو دراسة الریاضیات لدى طلاب المرحلة الثانویة ، مجلة تربویات الریاضیات ، مج (20) ، ع( 3) ، أبریل ، ص ص 165 – 213 .

-        رفعة رافع الزغبی ( 2013 ) : انهماک الطلبة فی تعلم اللغة الانجلیزیة وعلاقته بکل من علاقة الطلبة بمعلمی اللغة الانجلیزیة واتجاهاتهم نحو تعلمها ، المجلة الاردنیة فی العلوم التربویة ، مجـ( 9 ) ، ع ( 2) ، ص ص 221 – 241 .

-        رفعت محمد حسن الملیجی (2009): طرق تعلیم الریاضیات الإبداع والإمتاع، دار السحاب للنشر والتوزیع.

-        رمضان مسعد بدوی (2003): استراتیجیات فی تعلیم وتقویم تعلم الریاضیات، عمان، دار الفکر.

-        سالم بن سعید الهدیفی ( 2011) : هندسة سائق الأجرة  Geometry Taxicab  ، التنمیة المعرفیة ، سلطنة عمان ، ع  ( 4 ) ، ص ص 18 – 21 .

-        سربناس ربیع وهدان (2018) : فعالیة برنامج للتعلیم المتمایز فی تحسین الانخراط فی التعلم والفهم القرائی فوق المعرفی لدى الطالبات ذوات صعوبات التعلم ، مجلة کلیة التربیة جامعة کفر الشیخ ، مج (2).

-        سلامة بنت سعید بن محمد البدریة ورضا أبو علوان (2017 ) : فاعلیة برنامج قائم على تکوین وحل المشکلات الریاضیة لتنمیة قدرة الطلبة مرتفعی التحصیل على تکوین المشکلة فی ضوء قدرتهم الریاضیة ، مجلة تربویات الریاضیات ، مج ( 20 ) ،  ع (10 ) ، أکتوبر ، ص ص 6 – 47 .

-        شریف سالم الیتیم ( 2013  ) : الانخراط فی التعلم ، إصدارات اثرائیة ، مقدمة الی للمؤتمر التربوی السنوی 26 فی مملکة البحری ، " لتعلم والتدریس: إبداع مُتنامٍ، انخراط نشط، تنافس صحی "  ، مملکة البحرین ، مارس .

-        شیماء سمیر محمد خلیل ( 2018 ) : العلاقة بین نمط العرض التکیفی المقاطع الصفحات المتنوعة وأسلوب التعلم تسلسلی شمولی فی بیئة تعلم إفتراضیة وأثرها على تنمیة مهارات إنتاج العناصر الثلاثیة الأبعاد والإنخراط فی التعلم لطلاب تکنولوجیا التعلیم ، تکنولوجیا التربیة - دراسات وبحوث ، ع ( 35 ) ، أبریل ، ص ص 279 – 392 .

-        عاصم محمد إبراهیم عمر ( 2014 ) : أثر استخدام الویب کویست فى تدریس العلوم على تنمیة التنور المائى والانخراط فى التعلیم لدى تلامیذ الصف الثانى الإعدادى ، مجلة کلیة التربیة بأسیوط ، مجـ (30) ،  ع (3) ،  یولیو، ص ص 1 – 109

-        عایش محمود  زیتون ( 2007 ) : النظریة البنائیة واستراتیجیات تدریس العلوم، دار الشروق، عمان، الأردن.

-        عبد الوهاب أوغیدنی ( 2014 ) : أسلوب حل المشکلات فی تدریس الریاضیات المدرسیة : السنة الثالثة متوسط ، مجلة دفاتر البحوث العلمیة ، ع ( 5 ) ، دیسمبر ،  ص ص9 – 26 .

-        عصام إدریس کمتور وأخرون ( 2016 ) : أثر التعلم الإلکترونی على تنمیة مهارة حل المشکلات فی تدریس الریاضیات لدى طلاب المستوی الأول بکلیة التربیة جامعة الخرطوم ،  مجلة الدراسات التربویة والنفسیة ،  جامعة السلطان قابوس ، مج ( 10 )  ،  ع ( 2) ، إبریل ،  ص ص 339 – 355 .

-        علاء المرسی أبو الرایات ( 2016) : فعالیة أنشطة استقصائیة قائمة على هندسة التاکسی فی تنمیة التمثیل البصری وفهم بنیة الهندسة وحب الاستطلاع لدى الطلاب المعلمین شعبة الریاضیات  ،مجلة کلیة التربیة - جامعة طنطا ، مج (64 ) ، ع (  4 )  ،  أکتوبر ، ص ص 87 – 135 .

-        فایز مراد مینا (2006) : قضایا فی تعلیم وتعلم الریاضیات، مکتبة الأنجلو المصریة .

-        فرید کامل أبو زینة (2010) : تطویر مناهج الریاضیات المدرسیة وتعلیمها ، دار وائل للنشر ، الأردن .

-        فرید کامل أبو زینة وعبد الله یوسف عبابنة (2010) : مناهج تدریس الریاضیات للصفوف الأولى ، ط ( 2 ) ، دار المسیرة للنشر والتوزیع ، عمان ، الأردن .

-        ماریان میلاد منصور جرجس (2016) :  فاعلیة برنامج قائم على النظریة الاتصالیة  باستخدام بعض تطبیقات الجوجل التفاعلیة فی تنمیة بعض المهارات الرقمیة والانخراط  فی التعلم  لدى طلاب کلیة التربیة جامعة أسیوط ،  مجلة دراسات عربیة فی التربیة وعلم النفس ، ع(70 ) ، ص ص 144 -109.

-        ماهر بن محمد الغانم ( 2016 ) : تقییم استخدام معلمی الریاضیات بالمرحلة المتوسطة لمهارات حل المشکلات فى تدریس سلسلة الریاضیات المطورة ( ماجرو - هل MeGraw -Hill ) ، مجلة البحث العلمی فی التربیة ، ع ( 17 ) ،  ج ( 3 )  ، ص ص147 – 169.

-        مجدی عزیز إبراهیم (2009)  : التفکیر الریاضی وحل المشکلات ، عالم الکتب للنشر والتوزیع ، القاهرة .

-        مجدی عزیز ابراهیم ( 2009 )  : معجم المصطلحات التربویة ومفاهیم التعلیم والتعلم ، عالم الکتب ، القاهرة .

-        محمد أحمد آل مطهر (2013)، برنامج الکترونی مقترح لتنمیة تدریس حل المشکلة الریاضیة لدى معلمی الریاضیات بالمرحلة الثانویة وعلاقة بنمو بعض جوانب الإبداع لدى طلابهم، رسالة دکتوراه ، کلیة التربیة، جامعة عین شمس.

-        محبات أبو عمیرة (2000) : تعلیم الریاضیات بین النظریة والتطبیق (3) ، القاهرة ، مکتبة الدار العربیة للکتاب .

-        مصعب محمد جمال واخرون ( 2015 ) : برنامج تدریبی مقترح لمعلمی الریاضیات فی ضوء احتیاجاتهم التدریبیة و علاقته بتنمیة حل المشکلات لدى طلابهم بالمرحلة الأساسیة العلیا بفلسطین ، مجلة کلیة التربیة ، ع (39 ) , ج ( 3) ، ص ص 99 – 136 .

-        نجلاء محمد فارس ( 2016 ) : أثر التفاعل بین أنماط ادارة المناقشات الالکترونیة المضبوطة المتمرکزة حول المجموعة وکفاءة الذات المرتفعة - المنخفضة على التحصیل والانخراط فى التعلم لدى طلاب کلیة التربیة النوعیة ، مجلة کلیة التربیة ، مج ( 32 ) ، ع ( 1) ، ینایر ، ص ص 355 - 429

-        نجوى بنت عطیان المحمدی ( 2018 ) : فاعلیة التدریس وفق منهج STEM فى تنمیة قدرة طالبات المرحلة الثانویة على حل المشکلات ، المجلة التربویة الدولیة المتخصصة ، مج (7 ) ،  ع ( 1 ) ، ینایر ، ص ص 121 – 128 .

-    نعیمة سالم محمود وأخرون ( 2013 ) : تنمیة القدرة على حل المشکلات الریاضیة الواقعیة لدى طلاب الصف الأول الثانوی فی المدارس اللیبیة ، دراسات فی المناهج وطرق التدریس ، مایو ، ع ( 194 ) ، ص ص 185 – 201 .

-        نورة بوعیشة ونادیة بوشلالق ( 2013 ) : استراتیجیات حل المشکلة الریاضیة ، مجلة العلوم الإنسانیة والاجتماعیة ، ع (  13 ) ، دیسمبر ، ص ص 299 – 304 .

-        نیرمین حمدى حسن  ( 2009) : تطویر منهج الریاضیات فی المرحلة الثانویة فی ضوء بعض البرامج العالمیة ، رسالة دکتوراه ، کلیة البنات ، جامعة عین شمس .

-        نیفین علی عطا الله واخرون ( 2015 ) : فاعلیة استخدام استراتیجیة التساؤل الذاتی فی تنمیة مهارات حل المشکلات الریاضیة اللفظیة لدى تلامیذ المرحلة الإبتدائیة ، مجلة تربویات الریاضیات ، مج ( 18) ، ع( 6 ) ، یولیو ، ص ص189 – 226 .

-        هانی عبد القادر الأغا وآخرون (2016 ) : برنامج مقترح فى ضوء المعاییر الدولیة لتنمیة مهارات حل المشکلات الحیاتیة فى الریاضیات للطلبة المتفوقین بالمرحلة الثانویة ، مجلة البحث العلمی فی التربیة  ، ع ( 17), ج( 2) ، ص ص501 – 522 .

-        هانی محمد حامد المالحی (2006): فاعلیة التدریس بالاکتشاف الموجه من خلال معمل الریاضیات فی تنمیة بعض مهارات حل المسائل اللفظیة والاتجاه نحو الریاضیات لدی تلامیذ الصف الرابع الابتدائی الأزهری، رسالة ماجستیر  ، کلیة التربیة ، جامعة الأزهر.

-        هشام إبراهیم إسماعیل (2011): فعالیة برنامج تدریبی قائم علی الخرائط الذهنیة ومهارات ما وراء المعرفة فی تحسین مهارات المشکلات الریاضیة اللفظیة لدى تلامیذ ذوى صعوبات التعلم، مجلة کلیة التربیة ببنها ، مج(22 ) ،  ع( 88 ) ، ص ص 129- 186.

-الهیئة القومیة لضمان الجودة والإعتماد(2009 ) : وثیقة المستویات المعیاریة لمحتوى مادة الریاضیات للتعلیم قبل الجامعى ، مارس 2009 .

-        ولید السید احمد خلیفة وماجد محمد عثمان عیسى (  2018  ) : فعالیة برنامج للتعلیم المتمایز المحوسب فی ضوء الذکاءات المتعددة وأسالیب التعلم لتحسین الحل الإبداعی للمشکلات الریاضیة والانخراط فی تعلم الریاضیات لدى التلامیذ الموهوبین ذوی صعوبات التعلم  ، مجلة التربیة الخاصة والتأهیل ، مج ( 6 )، ع(  23 ) ، ص ص 67 – 137 .

-        ولید سالم محمد الحلفاوی (  2018  )   : الفصول المقلوبة : العلاقة بین معدل تجزئة الفیدیو ومستوى التعلم المنظم ذاتیاً فی تنمیة ما وراء الذاکرة والانخراط فی التعلم لدى طلاب الدراسات العلیا التربویة ، دراسات فى المناهج وطرق التدریس ، ع (  234 ) ، یونیو ، ص ص96 - 143

-        یحیی زکریا صاوی (  2018 ) : فاعلیة استخدام استراتیجیات تجهیز ومعالجة المعلومات فى تدریس الریاضیات لتنمیة حل المشکلات واتخاذ القرار لدى تلامیذ المرحلة الابتدائیة ، مجلة تربویات الریاضیات ، مج ( 21 ) ، ع (9 ) ، یولیو ،  ص ص 86 – 122

-        Ada , T & Kurtuluş , A  ( 2009 ) :A Study On Problem Posing-Solving in the Taxicab Geometry and Applying Simcity Computer Game  , Proceedings of the tenth International Conference Models in Developing Mathematics Education. - Dresden .

-        Ada,T & Kurtuluş, A (2015) : How does a taxi driver use geometry? , Procedia - Social and Behavioral Sciences , V(174) , pp 164 – 171

-        Ada,T (2013) : Teaching activity-based taxicab geometry , Educational research and reviews , V(8) , N(16) , August , pp 1421 - 1436

-        Ada , T et al ( 2014 ) : Developing the concept of a parabola in Taxicab geometry , International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 

-        Attard , C (2017 ) : Are you an engaged teacher? , URL: https://engagingmaths.com/2017/05/23/are-you-an-engaged-teacher/(Available at  4 / 11 / 2018 )

-        Aydoğdu, M., & Ayaz, M. F. (2008): the importance of problem solving in mathematics curriculum ,  Physical sciences, V (3), N(4), PP 538-545 .

-        Barreto, D et al ( 2017 ) : Motivation and Learning Engagement through Playing Math Video Games , Malaysian Journal of Learning and Instruction, V (14) ,  N ( 2  ), Dec, pp1-21 .

-        Berger , R. I.(2015) : From Circle to Hyperbola in Taxicab Geometry , The Mathematics Teacher, V( 109 ) , N( 3) , October, pp. 214-219

-        Borkley , E .F et al ( 2005 ) : collaborative learning techniques , A handbook for college , San Francisco , ca: Jassy Boss.

-        Cho, H (2014) : Taxicab Geometry in New York City , Mathematics Teaching in the Middle School, V(20 ) , N( 4) ,  November, p. 256

-        Choi, J & Walters, A ( 2018 ) : Exploring the Impact of Small-Group Synchronous Discourse Sessions in Online Math Learning  , Online Learning , V (22) ,  N ( 4) ,  Dec , pp 47-64 .

-        Coons , E et al ( 2015 ):  An Exploration of Taxicab Geometry , Applications of Taxicab Geometry, The University of Georgia , department of mathematics education , URL:https:// emat6000 taxicab.weebly.com/applications.html  (Available at 2 / 7 /2018)

-        Coons , E et al ( 2015 ) : An Exploration of Taxicab Geometry , History of Taxicab Geometry , The University of Georgia , department of mathematics education , URL:   https:// emat6000taxicab.weebly .com/history.html  (Available at 5 / 7/ 2018)

-        Damcke , D et al (2008) : Using non-Euclidean Geometry to teach Euclidean Geometry to K–12 teachers, Educational Research and Reviews , V( 8) , N(16), August, pp. 1421-1436 .

-        DeCristofaro, C et al (2014). Using Guide Response to Simulate Student Engagement in the Online Asynchronous Discussion Board, International Journal of Arts & Sciences, V(7) , N(3), pp45-57

-        Deveci, O & Aldan K. C (2019 ) : Investigation of the 5th Grade Students' Engagements in Mathematics Course towards Student Opinions , European Journal of Educational Research, V(8) , N (1) , p p337-348

-        Dreiling K, M ( 2012 ) : Triangle Construction in Taxicab Geometry , The Mathematics Teacher, V( 105 ) , N( 6 ) ,  February, pp. 474-478

-        Erbas , A.K & Okur.S ( 2012 ) : Researching students’ strategies, episodes, and metacognitions in mathematical problem solving , Quality & Quantity, V( 46) , N( 1) , pp 89-102

-        Heredia, D (2008): the huge gap between math education and the front of mathematics, The Proceedings of the 11th International Congress on Mathematical Education, ( ICME-11), Mexico ,July

-        Fout,N et al (2012) : Taxicab Travel: Mathematically Touring Baltimore, Ohio Journal of School Mathematics , N( 66 ) , Fall , pp 1-8.

-        Fung , M, G ( 2010 ) : Writing in a Mathematics Class? A Quick Report on Classroom Practices at the Collegiate Level , currents in teaching and learning ,  V( 2  ) , N( 2 ) , pp

-        Johnson, K. (2009): Primary Grades Teachers’ Identities and Teaching Practices In U.S.A & Japanese Mathematics Classrooms, Ph.D. ,Alabama University.

-        Jolien, U.(2014) : The teacher as linchpin: The teachers’ perspective on student engagement, PhD .Thesis, University of Twente, Enschede.

-        Kersaint ,G ( 2015 ) : talking math 6 strategies for getting students to engage in mathematical discourse , URL:  https://www.gettingsmart. com/2015/ 10/talking-math-6-strategies-for-getting-students-to-engage-in-mathematical-discourse/  (Available at   8 /  11 / 218 )

-        Kinach , B. M (2012 ) :  Fostering Spatial vs. Metric Understanding in Geometry , The Mathematics Teacher, V( 105) , N( 7) , March , pp. 534-540

-         Liu, R . D et al (  2018) :  Teacher support and math engagement: roles of academic self-efficacy and positive emotions , Educational Psychology, V(38) ,  N(1) , pp3-16 .

-        Martin  , J & Torres , A ( 2016 ) : What is student engagement and why is it important? , user’s guide and toolkit for the surveys of student engagement: the high school survey of student engagement (HSSSE) and the middle grades survey of student engagement (MGSSE) , National Association of Independent Schools .

-        Miller , N. (2017) : Teaching Inquiry to High School Teachers Through the Use of Mathematics Action , Research Projects, Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies "PRIMUS " , V( 27) , I( 1 ) , pp 33-46

-        Morin, L. L et al (   2017 ) : The Use of a Bar Model Drawing to Teach Word Problem Solving to Students with Mathematics Difficulties , Learning Disability Quarterly, V(40) ,  N(2) ,  May , PP 91-104

-        NCTM "National Council of Teachers of Mathematics" ( 2003 ): Principals and Standards for School Mathematics ,Reston , NTCM

-        NCTM " National Council of Teachers of Mathematics " ( 2006) : Curriculum Focal Points for Prekindergarten through Grade 8 Mathematics , Reston , NTCM

-        Neto, T et al (2009) : resorting to non euclidean plane geometries to develop deductive reasoning an onto-semiotic approach , Proceedings of the ICMI Study 19 conference: Proof and Proving in Mathematics Education , V(2 ) , pp 106 -111

-        New Zealand government ( 2019 ) : why teach problem solving? , URL : https://nzmaths.co.nz/why-teach-problem-solving

-        Nirode , W ( 2015 ) : Exploring New Geometric Worlds , The Mathematics Teacher, V (109 ) , N(2) ,  September , pp. 112-119

-        Özreçberoğlu, N.& Çağanağa, Ç. K. (2018) :  Making It Count: Strategies for Improving Problem-Solving Skills in Mathematics for Students and Teachers’ Classroom Management , Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education, V(14) ,N(4),pp 1253-1261

-        Preston, A, I ( 2016 ) : Effects of Singapore Model Method with Explicit Instruction on Math Problem Solving Skills of Students at Risk for or Identified with Learning Disabilities , Ph.D., The University of North Carolina at Charlotte

-        Smith, C. E. ( 2013 ) : Is That Square Really a Circle? , The Mathematics Teacher, V( 106) , N( 8) ,  April , pp. 614-619

-        Tendre, B . L.( 2018 ) : 3 student engagement strategies to mathematize any activity , URL : https://blog. mindresearch.org/ blog/student-engagement-strategies-math  (Available at  3 / 11  /  2018 )

-        Vula, E et al ( 2017) : The Impact of Metacognitive Strategies and Self-Regulating Processes of Solving Math Word Problems , International Electronic Journal of Elementary Education, V(10) , N( 1 ) , Sep , pp49-59.

-        Yang, Y. (2011) : Engaging students in an online situated language learning environment ,  Computer Assisted Language Learning , V(24) , N (2) , pp 181-198.

-        Young , S ( 2015 ) : 14 Activities That Increase Student Engagement During Reading Instruction , URL : https://www. readinghorizons .com/blog/14-classroom-activities-that-increase-student-engagement   (Available at  6 / 11  / 2018)

-        Wikipedia (2019 ) :  Taxicab geometry, Wikipedia the free encyclopedia , URL : https://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry (Available at  5 / 1  / 2019)